2.5《平面向量应用举例》教学设计
【教学目标】
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐
标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的
积极主动的探究意识，培养创新精神.
【导入新课】
回顾提问：
（1）若O为重心,则++=.
（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？
教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.
新授课阶段[中#国教@育出&%版网^]
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用
例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．
分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到， ，我们计算和．
证明：不妨设a，b，则
a+b，a-b，|a|2，|b|2．[中@#国教*育出版~网^]
得( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2． ①[来~&源:中%国教育*^出版网]
同理,|a|2-2a·b+|b|2． ②
①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
师：你能用几何方法解决这个问题吗？
让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.
师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.
用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量.
例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．[中~*国教^育出版#网@]
解：设a，b，则a+b．
因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)．[中国%^教*育@出~版网]
又因为与共线，因此存在实数n，使得=n= n(b- a)．
由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)．
整理得a＋b＝0．
由于向量a、b不共线，所以有 解得
所以．
同理 ．
于是 ．[来~源:z#zstep*.co&m%]
所以 AR＝RT＝TC．
说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．
探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？
（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？
师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．
例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？[中%@国教育出~&版网#]
分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．
解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
|F1|=．[来@源:中教^网%&~]
通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？
例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）
解：=(km/h)，
所以， (min)．
答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了.
例5 已知 ,的夹角为60o,,,当实数为何值时，⑴∥？⑵？[zzst@ep.co^&%#m]
解：⑴若∥，得；
⑵若，得
例6 如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；
②PA⊥EF.
解：以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，则A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). [，zzs@tep.c^&%o#m]
.
[来源&#:~zzst@ep^.com]
故
例7 如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点， 求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.[ww^w&.#z*zstep.com%]
证明:
即
例8 已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝．延长AP交BC于点D，若＝，＝，用、表示向量、．
解：∵＝－＝－， ＝－＝－，
又 3＋4＋5＝，∴ 3＋4（－）＋5（－）＝，
化简，得＝＋． 设＝t（t∈R），则
＝t ＋t． ①
又设 ＝k（k∈R），[www.z@z^ste%#p.com~]
由 ＝－＝－，得 ＝k（－）．
而 ＝＋＝＋，
∴ ＝＋k（－）＝（1－k）＋k. ②
由①②，得
解得 t ＝． 将之代入①，有[来#%源&:~中教^网]
＝＋．
课堂小结
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？
建立平面几何与向量的联系，
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
把运算结果“翻译”成几何关系.
作业
见同步练习
拓展提升
选择题
1.给出下面四个结论：
若线段AC=AB+BC，则向量；[来%#^源*@:中教网]
若向量，则线段AC=AB+BC；
若向量与共线，则线段AC=AB+BC;
若向量与反向共线，则.
其中正确的结论有 （ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）
A.10 B. C. D.12
3.在中，若=0，则为 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定
二、填空题
4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为 .
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.
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