第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
教学目标：
灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.
教学重点：
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.
教学难点：
二倍角公式的变形式的灵活应用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.
先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积
S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S
不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证sin2＝
分析：此等式中的α可作为的2倍.
证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝
请同学们试证以下两式:
(1)cos2＝ (2)tan2＝
证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，
即得cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝
(2)由tan2＝ sin2＝ cos2＝
得tan2＝
这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.
下面，再来看一例子.
［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.
证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］
请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.
和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.
［例3］求证sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［＋］＋sin［－］
＝sincos＋cossin＋sincos－cossin
＝2sincos＝右边
请同学们再证下面三式.
(1)sinθ－sin＝2cos·sin；
(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；
(3)cosθ－cos＝－2sin·sin.
证明：(1)令θ＝＋，＝－
则左边＝sinθ－sin
＝sin［＋］－sin［－］
＝sincos＋cossin－sincos＋cossin
＝2cossin＝右边
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［＋］＋cos［－］
＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin
＝2coscos＝右边
(3)左边＝cosθ－cos
＝cos［＋］－cos［－］
＝coscos－sinsin－coscos－sinsin
＝－2sinsin＝右边.
这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.
Ⅲ.课堂练习
1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝
证法一：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝＝＝tan（－2β）
∵α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法二：由已知可得：
3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β
∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈(0，)
∴α＋2β＝
证法三：由已知可得
∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1
又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.
2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值.
(2)证明tanB＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
(1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C)
∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
(2)证明：又由上：tanβ＝1－tanC
＝(1＋tanC)· ＝(1＋tanC)·tan(45°－C)＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
Ⅳ.课时小结
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.
Ⅴ.课后作业
课本P111习题 7、8、10.
二倍角的正弦、余弦、正切
1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是 （ ）
A. B. C. D.
3．已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)等于 （ ）
A.2x2－1 B.1－2x2 C.2x D.－2x
4．设sinα∶sin＝8∶5，则cosα等于 （ ）
A. B. C. D.1
5．（sin＋cos)(sin－cos)＝ .
6．化简cos(－α)·cos（＋α)＝ .
7．sin2－＝ .
8．＝ .
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
二倍角的正弦、余弦、正切答案
1．D 2．A 3．B 4．B 5．－ 6．cos2α 7．－ 8．
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
解：由α∈(0， )得sinα＝＝，cosα＝
∵β∈(π， )，
∴cosβ＝－＝－
代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×(－)－×(－)＝－
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
两式平方相加，得1＋1＋2（cosα·cosβ＋sinαsinβ)＝＋＝
∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝＝
∴cos＝±
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
∵－＜α＜，∴＜α＋＜π
∴cos(α＋)＝－＝－
∵＜β＜，∴－＜－β＜0
∴sin(－β)＝－＝－
∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］
＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)·cos(－β)＝×(－)－(－)×＝.
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