第七课时 二倍角的正弦、余弦、正切(一)
教学目标：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.
教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝
当α＝β时，tan2α＝
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋ (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝＋，k∈Z时tan2α的值不存在).
当α＝＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝，α∈(，π)
∴cosα＝－＝－＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，
tan2α＝＝－×＝－.
练习题：
1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵cosα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝＝
∴sin2α＝2sinαcosα＝2·m＝2m
cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1
tan2α＝＝
或由tanα＝＝
tan2α＝＝
2.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－cos2θ
＝1＋［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2α＝，cos2α＝，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
［例2］若270°＜α＜360°，化简：
解：∵cos2α＝2cos2α－1，cosα＝2cos2－1
∴
＝＝
又∵270°＜α＜360° 135°＜＜180°
∴原式＝＝＝＝－cos
［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝×
＝×＝×＝
［例4］求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8()2＝2(cos22θ＋2cos2θ＋1)
＝2()＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3
Ⅲ.课堂练习
课本P108 1、2、3、4.
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 1、2、3、4.
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