第三课时 两角和与差的正切
教学目标：
掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正切公式的推导及特征.
教学难点：
灵活应用公式进行化简、求值.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））
要准确把握上述各公式的结构特征.
Ⅱ.讲授新课一、推导公式
上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：
当cos（α＋β）≠0时
tan（α＋β）＝＝
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以
将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到：
tan（α＋β）＝
不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.
同理可得：tan（α－β）＝
或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.
这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，
简记为T（α＋β），T（α－β）.
但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于＋kπ（k∈Z），因为tan（＋kπ）不存在.
下面我们看一下它们的应用
二、例题讲解
［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.
解：tan75°＝tan（45°＋30°）
＝＝＝2＋
tan15°＝tan（45°－30°）
＝＝＝2－
［例2］求下列各式的值
（1） （2）
(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.
解：＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1
(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.
解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝
得：＝2·
＝2·＝2cot150°＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－2
说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.
［例3］利用和角公式计算的值.
分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成
这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.
解：∵tan45°＝1
∴＝＝tan（45°＋15°)＝tan60°＝
说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.
［例4］若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，求tan（α＋）的值.
分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋）＋（β－）＝α＋β，所以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.
解：tan（α＋）＝tan［（α＋β）－（β－)］
＝
将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝＝
［例5］已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).
解：∵α＋（α－β）＝2α－β
∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］
＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］
＝＝＝－
4.证明tan－tan＝
分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x
∴sinx＝sincos－cossin ①
cosx＋cos2x＝2coscos ②
①÷②即得：
＝－＝tan－tan.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式
(1)tan（α＋β）·（1－tanαtanβ） (2) －1
(3)
解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ）
＝（1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ
(2) －1＝－1 ＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ
(3) ＝tan［（α－β）＋β］＝tanα
说明：这一题目若将tan（α－β）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思想.
2.求值：
(1) (2)
(3)tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
解：(1) ＝tan（35°＋25°）＝tan60°＝
(2) ＝tan（86°－26°）＝tan60°＝
（3）分析：因为tan21°＝tan（45°－24°）＝
又因为tan45°＝1
所以，1＋tan24°＝1＋tan45°tan24°
这样，可将原式化为：
tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
从而求得原式的值.
解：tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
＝tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
＝（1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝1
Ⅳ.课时小结
正切的和、差角公式以及它们的等价变形.
即：tan（α±β）＝
Tanα±tanβ＝tan（α±β）［1tanαtanβ］
1tanαtanβ＝
这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.
Ⅴ.课后作业
课本P105习题 1，2，3，4
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