第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R.
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)
解：①设u＝2x＋，则y＝cosu
当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大
又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大
∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：
［kπ－π，kπ－］(k∈Z)
②设u＝－，则y＝3sinu
当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，
又∵u＝－随x∈R增大在减小
∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋
即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：
令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2
而sin＞sin(＋2π)
∴①错误；
②当α为锐角时，＜α＋＜＋
由图象可知＜sin(α＋)≤1
∴②错误；
③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.
其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.
∴③错误；
④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1
∴④正确.
答案：④
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，
解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
又∵0＜sinx－≤1－
∴lg(sinx－)≤lg(1－)
∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)
值域为(－∞，lg(1－)］.
(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，
解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋
即 －≤x≤＋，k∈Z.
又0≤2cos3x－1≤1
故0≤2≤2
∴定义域为［－，＋］，k∈Z
值域为［0，2］
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos，sin，－cos
(3)sin(sin)，sin().
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.
解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°
cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°
∵0°＜15°＜80°＜90°
又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，
∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°
∴sin195°＞cos170°.
(2)∵sin＝cos(－)
－cos＝cos(π－)
又∵－＝1.47＜1.5＝
π－＝1.39＜1.4＜－＜
而y＝cosx在［0，π］上是减函数，
由π－＜－＜＜π
得cos＜cos(－)＜cos(π－)
即cos＜sin＜－cos.
(3)∵cos＝sin
∴0＜cos＜sin＜1
而y＝sinx在［0，1］内递增
∴sin(cos)＜sin(sin).
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