第十一课时 平面向量数量积的坐标表示
教学目标：
掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示.
教学难点：
向量数量积的坐标表示的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢?
这是我们这一节将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：
记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
1.平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a·b＝x1x2＋y1y2
2.两向量垂直的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)
有a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.
记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
又∵0≤θ≤， ∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)
又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝0
3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0
即25x＋24y＝0 ①
又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1
(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1
整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1 ②
由①②有24xy＋25y2＝1 ③
将①变形代入③可得：y＝±
再代入①得：x＝
∴或
［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.
解：若A＝90°，则·＝0，
∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2
若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)
即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0
若C＝90°，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，
所以不存在实数k使C＝90°
综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.
评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.
［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且＝t (0≤t≤1)，则·的最大值是多少?
解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：
，解得
∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，
∴·＝a2－a2t
∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，
∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.
［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？
解法：(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2
＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0
∴m＝＝时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).
Ⅲ.课堂练习
课本P82练习1～8.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
Ⅴ.课后作业
课本P83习题 6，8，9，10
平面向量数量积的坐标表示
1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ）
A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对
2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为 （ ）
A.63 B.83 C.23 D.57
3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ）
A.－23 B. C.－ D.－
4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）
A.（，+∞） B.［，+∞）
C.（－∞，） D.（－∞，］
5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ）
A.－ B. C.0 D.1
6．已知向量c与向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夹角相等，c的模为，则
c＝ .
7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为 .
8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：
①|a|＝ ②b2＝ ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
平面向量数量积的坐标表示答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(，)或(－，) 7．2 8．②
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
（1）证明：∵＝（1，1），＝（－3，3）
∴·＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴⊥.
（2）解：∵ABCD为矩形，设C（x，y），
∴＝，（1，1）＝（x+1，y－4)
∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
解：∵a－b＝(3－k，－2－k)
∴t＝|a－b|＝
＝＝
∴当k＝时，t取最小值，最小值为.
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),
∴|a|＝|b|＝1，
∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1 ①
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2),
又|3a－2b|＝3,
∴(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝9,
将①代入化简，
得x1x2＋y1y2＝ ②
又3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2，3y1＋y2),
∴|3a＋b|2＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9(x12＋y12)＋(x22＋y22)＋6(x1x2＋y1y2)＝12,
故|3a＋b|＝2.
【点此下载】