第五课时 向量的数乘(二)
教学目标：
掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.
教学重点：
实数与向量积的运用.
教学难点：
实数与向量积的运用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.
证明：因为E、F为DC、AB的中点，
∴＝，＝，
由向量加法法则可知：＝＋＝＋，
＝＋＝＋.
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝－，＝－，
∴＝－－＝－(＋)＝－
∴∥， ∴AE∥CF
［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.
分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的
运算以及平面向量基本定理的综合应用.
证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，
∴存在实数λ和μ，使得＝λ，＝μ.
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a
∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a).
又∵＋＝，
∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即
(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，
又∵a与b不共线，
由平面向量基本定理，，
∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD，
即AO＝OC，BO＝OD.
［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).
证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：
＝ (＋)，＝ (＋)，
∴＋＝ (＋) ①
同理可得＋＝ (＋) ②
＋＝ (＋) ③
由式①＋②＋③得：2(＋＋)
＝ (＋＋＋＋＋)＝0
∴＋＋＝0
∴3＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋
∴PG＝ (PA＋PB＋PC).
［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.
求证：AD GC.
证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.
所以＝
又因为D是BC的中点，所以＝，
所以－＝－，
所以＝ (＋)＝＋＝＋＝
所以AD GC.
［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
证明：如图，∵＝＋＋，
＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)
∵E、F分别是AC、BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，
∴＝ (＋)
又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，
∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤ (｜｜＋｜｜)，
即｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
Ⅲ.课堂练习
课本P68练习1，2，3.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
课本P69习题 9，10，12，13
向量的数乘
1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量BC等于 （ ）
A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a
2．若＝5e1，＝－7e1，且||＝||，则四边形ABCD是 （ ）
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.菱形 D.梯形但两腰不相等
3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正确的命题个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．若O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ）
A. B. C. D.
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7) a，则x＝ ，y＝ .
6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于点F，设＝a，＝b，用a、b表示向量为 .
7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为 .
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
向量的数乘答案
1．D 2．B 3．C 4．B 5． 6．－a＋b 7．±1
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
证明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0
∴＝＋＋，＝＋＋
两式相加，
2＝＋＋＋＋＋
∵＋＝0，＋＝0
∴＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：＝(b＋λa)
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
解：（1）∵P为中点，∴＝（b－a）
∴＝a＋ (b－a)＝ (a＋b).
(2)∵＝ (b－a)
∴＝a＋（b－a)＝ (b＋2a).
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