两角和与差的余弦
掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.
教学重点：
S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.
教学难点：
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ(C（α±β））
tan（α±β）＝（T（α±β））
Ⅱ.讲授新课
这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.
我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：
Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.
它们又有什么内在联系呢?
下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：
［例1］求证＝1－
分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，
∴原式成立.
或：右边＝1－＝
＝
＝＝左边 ∴原式成立.
［例2］已知sinβ＝m·sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝tanα
分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.
证明：由sinβ＝msin（2α＋β）
sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］
sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］
（1－m）·sin（α＋β）cosα＝（1＋m）·cos（α＋β）sinα
tan（α＋β）＝tanα
评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.
［例3］求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值.
分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.
解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°＝－
∴原式的值为－.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式：
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
(2)－－sinx－cosx
解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＝cos［（α＋β）－β］＝cosα
这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与sin（α＋β）按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.
(2) －－sinx－cosx
＝－－sinx－cosx
＝－－（sinx＋cosx）
＝－（sinx＋cosx）＝0
这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.
2.证明下列各式
(1) ＝
(2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β
(3) －2cos（α＋β）＝
证明：(1)右边＝＝
＝＝左边
(2）左边＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）
＝××（1－tan2αtan2β）
＝×（1－tan2αtan2β）
＝tan2α－tan2β＝右边
(3)左边＝－2cos（α＋β）
＝
＝＝
＝＝右边
3.(1)已知sin（α＋45°）＝，45°＜α＜135°，求sinα.
(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值.
解：(1)∵45°＜α＜135°， ∴90°＜α＋45°＜180°
又∵sin（α＋45°）＝， ∴cos（α＋45°）＝－
∴sinα＝sin［（α＋45°）－45°］
＝sin（α＋45°）cos45°－cos（α＋45°）sin45°
＝×＋×＝
这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cosα的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sinα的值.
（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°
＝tan（11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1
注意运用公式的等价变形式.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.
Ⅴ.课后作业
课本P106 5，6，7，8
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