第一章《三角函数》教学设计（复习课） 【教学目标】 １．任意角的概念与弧度制；任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；[&@中国教育出^%*版网] 2．同角三角函数的关系（，），诱导公式；[来源~:#中^@国%教育出版网] 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质； 4．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等； 5．函数的实际意义；函数图象的变换（平移平换与伸缩变换）； 6.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【导入新课】 复习回顾本章知识 新授课阶段 一、同角三角函数基本关系式的运用 例1 若，求：（1）的值； （2）的值． 解：（1）； （2）原式 . 例2 若的值． 解：，  例3 已知． 化简；[来*源%:zzs#tep&@.com] 若是第三象限的角，且，求的值； 若，求的值． 解：（1）. （2）， . . （3），  . 二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 例4 求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）． 解：（1）由，得，∴． ∴的定义域为． （2）∵，∴．即的定义域为． （3）由已知得 ∴ ∴原函数的定义域为． 例5 求下列函数的周期： （1）；（2）；（3）． 解：（1）， ∴周期． （2），故周期． （3），故周期． 例6 已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 解:(1) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 =2sin[2(x－)－]+1 =2sin(2x－)+1， ∴ T==π. (2)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有2x－ =2kπ+.[*中~国教育出版网@^%] 即x=kπ+  (k∈Z).∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ,k∈Z}. 例7 判断下列函数的奇偶性： （１）； (2 ) ； (3 ) ；  (4 ) ． 解：（1）的定义域为，故其定义域关于原点对称， 又， 为奇函数. （2）时，，而， 的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数. （3）的定义域为R，又， 为偶函数. （4）由得，又 ，故此函数的定义域为 ，关于原点对称，此时[中#国教育@出版&%网~] 既是奇函数，又是偶函数. 例8 已知:函数． (1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:(1).由，  .定义域为 ，值域为 (2) 定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数. （3）， 的递增区间为， 递减区间为. (4) ， 是周期函数,最小正周期T.[来*源:^中教%@#网] 例9 已知函数，．求: (I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合； (II) 函数的单调增区间． 解：(I) 当,即时, 取得最大值. 函数的取得最大值的自变量的集合为. (II) . 由题意得: ， 即: . 因此函数的单调增区间为. 三、函数的图象与变换 例10 已知函数，若直线为其一条对称轴.（1）试求的值；（2）作出函数在区间上的图象．[来@源:zzstep*%.&~com] 解：（1） . 是的一条对称轴，. .  （2）用五点作图 例11 已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （I）求； （II）计算． 解：（I）的最大值为2，. 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，， .过点，  又. （II）， . 又的周期为4，，  例12设函数（其中）.且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值． 解：（I） 　依题意得 ． （II）由（I）知，．又当时， ，故，从而在区间上的最小值为，故 四、三角函数的运用 例13 某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据： t时 0 3 6 9 12 15 18 21 24  y米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0   [~中国教育%*出版&网@] 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象. （1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式， （2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 解：（1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10， （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米. ,解得:. ,在同一天内,取. ∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时. 例14如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时， 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；[zzs%t&ep~#.c@om] 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于 地面的高度不超过10米？ 解：（1）以Ｏ为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）. （2）令，则. ，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.例15 如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值. 解：如图，连结AP，设，延长RP交AB于M， 则， ， ，故矩形PQCR的面积  . 设， ，故当时，. 当时，.[中#国教^*@育出版网%] 例16．将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.[来&源:#中教^%网~] 解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设，则 ，所以矩形OPMN的面积 即当时，. 按图(2)的裁法：矩形一边PQ与弦AB平行，设，在△MOQ中， ，则正弦定理得：. 又， [来源^:中~#&教网*] .  当时，[www^.#z&zstep*.c@om] 由于，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为 课堂小结 主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想. 作业[中国#教育^%出版网~@] 见同步练习 拓展提升 1． （ ）[中^国教育出版&#网~@] A．第一象限 B．第二象限　　　Ｃ．第三象限　　Ｄ．第四象限 ２．已知，且是第二象限角，则应满足的条件是( ) A．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ． ３．已知的值是 （ ） A． B．　　　Ｃ．２　　　　Ｄ．－２[来源#*:中国%教育出~&版网] 4. 给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是；②图象关于点（，0）对称　　　（　　） （A）（B） （C） （D） 5．为了使函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则的最小值是（　　） （A） （B） （C） （D）[zz@s&te~p.c%o#m] 6.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是　　（　） A. B.－ C.－1 D. 7．函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是 （　　） A．φ=2kπ－，k∈Z B．φ=kπ－，k∈Z C．φ=2kπ－，k∈Z D．φ=kπ－，k∈Z[来&源:^zzstep.c#~o%m] 8．在中，，若函数在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A） （B） （C） （D） 9.同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是增函数”的一个函数是( ) A． B. C． D. 10．若把一个函数的图象按（，－2）平移后得到函数的图象，则原图象的函数解析式是　　　　　　　（　　　）[z&z*step.com%~@] （A） （B） （C） （D） 11．为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象 （ ） A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度[来~源^:中国%教育&*出版网] C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 12．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是 （ ）  A.ω=1，= B.ω=1，=－ C.ω=，= D.ω=，=－ 13．若函数图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位，向下平移3个单位，恰好得到的图象，则 ． 14．函数为奇函数的充要条件是　　　　　　　　；为偶函数的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　． 15．一正弦曲线的一个最高点为，从相邻的最低点到这最高点的图象交轴于，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 . 16．已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围. 17．数的最小值是(2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3(，又图象过点(0,1)，求函数解析式. [来源~@#:*zzste&p.com] [www@#.zzst%e~*p.com] 18．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x=时，.[zzs*tep.co#~^m@] （1）求f（x）. （2）在闭区间［，］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由. 参考答案 1．Ｄ　提示；由 可得 2．Ｃ　　提示：由可得． 3．Ａ　提示： 4．D 5．B 提示:49×T≤1，即×≤1，∴ω≥. [中@国教育~出%#&版网] 6．提示：f（x）=1－sin2x+sinx =－（sinx－）2+，当x=－时，取最小值 7．D 提示：令可得 8．C 提示：根据，所以[www~.#zzst&*e%p.com] 9．D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增区间即可 10．D 提示：将函数的图象按平移可得原图象的函数解析式[中国教育出*&版@网#~] 11．B 提示：∵y=sin（2x－）=cos［－（2x－）］=cos（－2x）=cos（2x－）=cos［2（x－）］，∴ 将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度 12．C 提示：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ ω=.又当x=时，y=1， sin（×+）=1，+=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=. 13． 14．　； 15． 16解：原方程sinx+cosx=ksin（x+）=k，在同一坐标系内作函数y1=sin（x+）与y2=k的图象.对于y=sin（x+），令x=0，得y=1. ∴当k∈［1，］时，观察知两曲线 在［0，π］上有两交点，方程有两解 17．解：易知：A = 2，半周期，∴T = 6(，即，从而：. 设：，令x = 0，有. 又：，∴. ∴所求函数解析式为 18．解：（1）由，. 由题意可得  解得  . （2）令，所以. 由 得 ， . 所以在［，］上只有f（x）的一条对称轴x=
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