§2.3.1 二项分布（1）
教学目标
1．理解次独立重复试验的模型（重伯努利试验）及其意义．
2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布并应用来解决简单实际问题
教学难点：二项分布公式的发现与应用二项分布的有关概率计算
教学过程
一、自学导航
（一）问题情境
1．情景
射击次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率是不变的；
抛掷一颗质地均匀的筛子次，每一次抛掷可能出现“”，也可能不出现“”，而且每次掷出“”的概率都是；
种植粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是．
2．问题:上述试验有什么共同特点？
（二）学生活动
共同点：⑴每次试验是在同样的条件下进行的；
⑵各次试验中的事件是相互独立的；
⑶每次试验都只有两种结果:A与A；
⑷每次试验中事件A发生的概率相同：P(A)=p.
由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，每次试验中．
二、探究新知
1．次独立重复试验
一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中．我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．
思考：在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，那么，在这 次试验中，事件恰好发生次的概率是多少？
我们先研究下面的问题：射击次，每次射中目标的概率都为．设随机变量是射中目标的次数，求随机变量的概率分布．
分析1： 这是一个次独立重复试验，设“射中目标”为事件，则 （记为），可用树形图来表示该试验的过程和结果．
由树形图可见，随机变量的概率分布如下表所示．
分析2：在时，根据试验的独立性，事件在某指定的次发生时，其余的 次则不发生，其概率为，而次试验中发生次的方式有种，
故有．
因此，概率分布可以表示为下表
一般地，在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即．由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为．又由于在次试验中，事件恰好发生次的概率为．它恰好是的二项展开式中的第项．
2．二项分布：
若随机变量的分布列为其中
则称服从参数为，的二项分布，记作．
三、例题精讲：
例1 求随机抛掷次均匀硬币，正好出现次正面的概率．
分析：将一枚均匀硬币随机抛掷次，相当于做了次独立重复试验，每次试验有两个可能结果，即出现正面与出现反面，且．
解 设为抛掷次硬币出现正面的次数，依题意，随机变量，则 ．
答 随机抛掷次均匀硬币，正好出现次正面的概率约为．
思考：1、“随机抛掷次均匀硬币正好出现次反面”的概率是多少？
2、随机抛掷一颗质地均匀的骰子n次,求恰好出现k次5的概率．
例2 设某保险公司吸收人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司元，若意外死亡，公司将赔偿元．如果已知每人每年意外死亡的概率为，问：该公司赔本及盈利额在元以上的概率分别有多大？
解 设这人中意外死亡的人数为，根据题意，服从二项分布：，死亡人数为人时，公司要赔偿万元，此时公司的利润为万元．由上述分布，公司赔本
这说明，公司几乎不会赔本．
利润不少于元的概率为
，即公司约有的概率能赚到元以上．
例3 一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布．
分析：由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个所对应的事件的准确含义，据此正确地计算概率．
解：可能的取值为这四个数，而表示，共取了次零件，前次取得的都是次品，第次取到正品，其中．
当时，第1次取到正品，试验中止，此时；
当时，第1次取到次品，第2次取到正品，；
当时，前2次取到次品，第3次取到正品，；
当时，前3次将次品全部取出，．
所以的分布列为
X
0
1:学科网
2
3
P
四、课堂精练
⑴某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,他射击4次恰好击中3 次的概率是多少？
⑵设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少发生一次的概率等于，求事件A在一次试验中发生的概率．
⑶已知一个射手每次击中目标的概率为0.6，求他在次射击中下列事件发生的概率．
①命中一次； ②恰在第三次命中目标；
③命中两次； ④刚好在第二、第三两次击中目标．
⑷课本页第1，2，3题
五、回顾小结
⑴独立重复试验（两个对立的结果以及每次事件A发生的概率相同）、
二项分布X～B（n，p）．
⑵分清事件类型，转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件
六、拓展延伸
1.证明：若,则事件A与B是独立的．
2.某城市小汽车的普及率为，即平均每10个家庭中有2个家庭有小汽车.若从这个城市中任意选出9个家庭，试求有3个以上（包括3个）的家庭有小汽车的概率.
(书本P64 思考运用)
七、课后作业
课本页第3，6，7题
八、教学后记：
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