高二数学
双曲线及其标准方程、双曲线的几何性质
本讲主要内容
1．掌握双曲线的定义和标准方程:
(1)掌握双曲线的定义和根据双曲线的定义推求双曲线的标准方程的方法.
(2)掌握双曲线的标准方程.
(3)掌握运用待定系数法求双曲线的标准方程,掌握过焦点的弦长的计算方法.
2．掌握双曲线的几何性质:
(1)掌握双曲线的几何性质——范围、对称点、顶点、渐近线、等轴双曲线、离心率及其几何意义,准线和准线方程,以及双曲线可由其焦点、准线和离心率确定.
(2)能够根据条件利用工具画出双曲线的图形,并了解双曲线的初步应用.
3．能求解双曲线和直线、圆、椭圆的综合问题;
学习指导
1．双曲线的重点、难点是什么？
重点：双曲线的定义及其有关概念,双曲线的两种标准方程和双曲线的几何性质.
难点：分清标准方程的两种不同形式,双曲线的渐近线与双曲线“渐近”的证明,双曲线的离心率、准线方程和双曲线的关系,以及双曲线的应用.
学好双曲线的关键是掌握双曲线的定义、有关概念、标准方程和双曲线图形的对应关系.
2．学习双曲线的标准方程时,要注意些什么？
(1)把双曲线的标准位置与标准方程统一起来.
如果双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,那么这个位置是标准位置,若使方程的右边为1,则左边两顶中含x2的顶为正,且分母为a2,含y2项为负,且分母为b2,所以方程为.
如果双曲线的中心在原点、焦点在y轴上,那么这个位置也是标准位置,若使方程的右边为1,则左边两项中含x2项为负,且分母为b2,含y2的项为正,且分母为a2,所以方程为.
(2)“定量”与“定位”,要求出双曲线的标准方程,就要求出a2、b2两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出关于a2、b2的方程组,解得a2、b2的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外,判断焦点在哪条坐标轴上,以便在使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了a2、b2在方程中的位置.
例题精讲
例1．求下列双曲线的标准方程.
(1)与椭圆共焦点,且过点(-2,)的双曲线的方程.
(2)与双曲线有公共焦点,且过点(,2).
[分析]这两问都是求双曲线的方程,而且乍一看题目好象一样,但一定要注意它们的不同点,第(1)是与椭圆共焦点,由椭圆方程知其焦点在y轴上,故所求双曲线方程为,再用待定系数法求解,第(2)是与双曲线共焦点,故所求双曲线方程可设为,再用待定系数法求解.
[解]:(1)由知F1(0,-3),F2(0,3).
设双曲线方程为,(a>0,b>0),
则有
∴a2=5,b2=4.
∴所求的双曲线方程为.
(2)所求的双曲线方程为,
将(,2)代入得k=4,
∴所求的双曲线方程为.
[解题后的点拨]利用待定系数法求双曲线方程,先定型,再定量,即先确定所求双曲线是哪种形式的标准方程,再求解,另外与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为.
例2．求下列双曲线的标准方程.
(1)渐近线方程为,两条准线间的距离为.
(2)离心率为,且过点(4,).
[分析]第(1)由渐近线方程为,可设双曲线方程为,又两准线间的距离为,由这个条件无法确定其双曲线焦点的位置,故应有两种情况,应对λ>0,λ<0进行讨论：第(2)离心率为是一个非常重要的条件,它一定是等轴双曲线,故可设所求双曲线方程为.
[解]:(1)∵双曲线的渐近线方程为,
∴设双曲线方程为即.
①当λ>0时,a2=4λ,b2=9λ,准线方程为.
由题意,解得λ=4.
②当λ<0时,a2=-9λ,b2=-4λ,
准线方程为.
由题意,解得.
∴所求双曲线方程为
或.
(2)∵,
∴设所求等轴双曲线的方程为.
∵双曲线过点(4,),解得λ=6.
∴所求双曲线方程为.
例3．求下列动圆圆心M的轨迹方程.
(1)与⊙C：(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0).
(2)与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2：x2+(y+1)2=4外切.
(3)与⊙C1：(x+3)2+y2=9外切,且与⊙C2：(x-3)2+y2=1内切.
[分析]涉及圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点(圆心、切点)和关键线段(半径、圆心距等),若相切的⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2,且r1>r2,则当它们外切时,|O1O2|=r1+r2；当它们内切时,|O1O2|=r1-r2,具体解题时,要注意灵活运用双曲线的定义直接写出方程.
[解]:设动圆M的半径为r.
(1)因为⊙C与⊙M内切,点A在⊙C外,
∴|MC|=r-,|MA|=r,
|MA|-|MC|=.
从而点M的轨迹是以C、A为焦点,实轴长为的双曲线的左支,
且,c=2,b2=c2-a2=.
∴所求双曲线方程为(x≤)
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，设⊙M半径为r,
∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1.
∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点,实轴长为1的双曲线的上支,
且.
∴所求双曲线方程为(y≥)
(3)∵⊙M与⊙C1外切,且与⊙C2内切,设⊙M半径为r
∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4,
∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,
且.
∴所求双曲线方程为(x≥2).
[解题后的点拨]这种求轨迹方程的题目一定要注意把不合题意的部分去掉.
例4．已知α∈[0,π),试讨论随α的变化,方程表示的曲线的形状.
[分析]因为α∈[0,π),在α∈[0,π)内大于或等于零,而在[0,)内大于零,在(,π)内小于零,且它们值随α的变化,还有α=0和α=这两个特殊点,应单独讨论.
[解]:(1)当α=0时,=0,=1,
∴原方程变为：y2=1,即y=±1,表示两条平行直线.
(2)当α∈(0,)时,原方程变为：
,且,
则,
∴原方程表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=时,原方程变为：
x2+y2=,则方程表示为圆心在原点,半径的圆.
(4)当α∈()时,原方程变为：
,且,
则,
∴原方程表示焦点在y轴上的椭圆.
(5)当α=时,,,
∴原方程变为：x2=1,即x=±1,
表示两条平行的直线.
(6)当α∈()时,原方程变为：
,
∵α∈(),
∴,,
则原方程为：,
∴原方程表示焦点在x轴上的双曲线.
[解题后的点拨]分类讨论思想是近几年高考的重点之一,根据题意如何分类是解此类题的关键,大家应注意这方面的训练.
基础训练题
一．选择题:
1．已知动点P到F1(-5,0)的距离与到F2(5,0)的距离的差等于6,则P的轨迹方程为( ).
(A) (B)
(C)(x≤-3) (D)(x≥3)
2．当α∈(),方程表示的是( )
(A)焦点在x轴上的双曲线 (B)焦点在y轴上的双曲线
(C)焦点在x轴上的椭圆 (D)焦点在y轴上的椭圆
3．动圆P过B(2,0)且与圆外切,则动圆圆心P的轨迹方程为( ).
(A) (B)
(C) (D)
4．过原点的直线与双曲线的公共点个数为( ).
(A)0或2 (B)0或1
(C)1或2 (D)0或1或2
5．若方程的曲线是双曲线,则k的取值范围为( ).
(A)(-,-3) (B)(1,3)
(C)(-1,-3)∪(1,3) (D)(-3,-1)∪(3,+)
6．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ).(94年高考试题)
(A)1 (B) (C)2 (D)
二．解答题:
7．在ΔABC中,底边BC固定,设|BC|=a,顶点A满足,求顶点A的轨迹方程.
8．过双曲线的左焦点F1作倾斜角的直线与双曲线交于A、B两点,求|AB|.
9．已知ΔABC的顶点为A(0,-7),B(0,7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一个焦点C’的轨迹方程.
10．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,焦点在椭圆x2+4y2-100=0的顶点上,求双曲线的标准方程.
基础训练题点拨与解答
一．选择题:
1．答案：(D).
[解]由题意所求双曲线应为焦点在x轴上的双曲线的右支,
又∵c=5,a=3,
∴b2=25-9=16.
∴(x≥3)为所求,故选(D).
2．答案：(A).
[解]∵α∈()
∴∈(0,1),∈(-1,0),
∴应表示焦点在x轴上的双曲线,故选(A).
3．答案：(B).
[解]∵圆(x+2)2+y2=1的圆心O(-2,0),半径r=1.
由题意得|PO|=|PB|+1
∴|PO|-|PB|=1(定值)
故所求点P的轨迹为以O、B为焦点的双曲线的右支.
∴c=2,a=,故b2=
∴
即为所求,故选(B).
4．答案：(A).
[解]双曲线的渐近线过原点,故若此直线就是渐近线,则它与双曲线没有交点,其它过原点的直线都与双曲线有两个交点,故应选(A).
5．答案：(C).
[解]原方程变形为,
若焦点在y轴上,
则无解.
若焦点在x轴上,
则
∴-30,9-k>0,
所给方程表示椭圆,这时a2=25-k,b2=9-k,c2=a2-b2=16,
∴这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).
(2)当90,9-k<0,
所给方程为,它表示双曲线,这时
a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,
∴这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0).
(3)k>25时,k=9或k=25时,所给方程没有轨迹.
8．[解]∵双曲线C的方程为,
则C2=3,
∴双曲线C的右焦点为F(,0).
①当直线l垂直于x轴时,直线方程为,与双曲线C交于两点A、B,A、B的中点为F(,0).
②当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为,,设直线l与双曲线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入双曲线C的方程得
两式相减得
又设AB中点为M(x,y),则
代入(*)式得 ,
即,
而①所得中点()也满足上式,
∴所求弦AB的中点轨迹为
.
9．[解]设A(x1,y1),B(x2,y2),
由以AB为直径的圆过原点,
得OA⊥OB,
∴即
,
而,,
∴即
①
由得
,
∴,,
将上式代入①得
∴.
10．[解]由题意设双曲线方程为
∵,,
∴.
设M(x,y)为双曲线上任一点,则
|PM|2===.
(1)若4≥2b,则当y=4时,
,得,
从而所求方程为.
(2)若4<2b,则当y=2b时,
,
得,
,
∴所求方程为.
研究探讨题:
双曲线的内容也是高考的重点内容之一,其中91年的考题考查了双曲线性质,两点间距离公式,两直线垂直的条件,及符合分析能力.
双曲线的中心在原点O,焦点在x轴上,过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点,又PO⊥OQ,|PQ|=4,求此双曲线方程.
[解]设双曲线方程为
由
得,
当求
当时,
=,
∵OP⊥OQ,∴,
而
=
由得
即(代入)
∴,
又,则
即
代入得,
∴所求双曲线方程为.
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