两个平面垂直的判定和性质 主讲人：张英群 [基础知识] 两个平面相交————二面角————二面角的平面角————直二面角————两个平面垂直————判定与性质 [学习指导] 1.如何学好"面面垂直"的建议? 学习"面面垂直"时,要与学习过的"线线垂直"、"线面垂直"进行对比地学习,要注意归纳,总结它们之间的类比关系。 注意掌握它们之间进行转化的思维方法,即 2.采用"定义法"判定两个平面垂直的一般步骤是什么? 可分为三步:(1)作出两个相交平面所成二面角的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义得出两个平面垂直。 3.解题中,如何作二个相交平面所成二面角的平面角? 作二个相交平面所成二面角的平面角,要视已知条件中某个关键点的位 置而定. (1)棱上,则采用"定义法",即以二面角的棱上该点为端点,在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角即是二面角的平面角. (2)采用"三垂线法",即过该点分别向另一个平面及棱作垂线,后者与其在另一个平面内的射影所成的角即是二面角的平面角. (3)面外,则采用"垂面法",即过该点作二面角的棱的垂直的平面,其与二 个相交平面交线所成的角即是二面角的平面角. 注意:在(2),(3)中也可能所得的角是二面角的平面角的邻补角。如图6-1; [例题精析] 例1.共面的三条射线OA、OB、OC，使
°，
，求二面角B-OA-C的大小. [分析]此题考虑用"定义法"指出二面角的平面角,然后在三角形中求平面角的大小. [解]如图6-2,在OA上任取一点P,在平面AOB内作PQ⊥OA,交OB于Q,在平面AOC内作PR⊥OA交OC于R,连结QR. ∴∠QPR即是二面角B-OA-C的平面角. P=a,在Rt△O
Q中 ∵∠POQ=45° ∴PQ=a,OQ=
a。 同理PR=a,OR=
a。 在△QOR中，∴∠QOR=60°,OQ=OR=
, ∴ QR=
a， 在△PQR中，∵PQ=PR=a, QR=
∴QR=
, 在△PQR中，∵PQ=PR=a, QR=
, ∴PQ2+PR2=QR2, ∴∠QPR=90° 即二面角B-OA-C的度数为90о,是直二面角 [解题后的点拨] 作二面角的平面角可有三种方法,即①定义法②三垂线法③垂面法,具体用哪种方法,要由已知条件确定。 例2. 如图6-3,过S引三条长度相等但不共面的 线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°， ∠BAC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC. [分析]由条件可以得到如下结论:①△ABC和 BSC都是等腰三角形;②S在平面ABC内的 射影是△ABC的外心,从而可以得到两种证法。 [证法1]： 在平面ABC中,作AD⊥BC于D,
,且均是正三角形, ∴AB=AC,SB=SC,BD=CD, ∴△BAC是等腰直角三角形, ∴SD⊥BC,AD=BD. ∵AD2+SD2=BD2+SD2=SB2=AS2, ∴AD⊥SD,即∠ADS=90°, ∴平面ABC⊥平面BSC。 [证法2]: 作SD⊥平面ABC,垂足为D. ∵SA=SB=SC, ∴D是△ABC的外心, ∵∠ASB=∠ASC=60°,∠BAC=90°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴D是BC的中点,即SD
平面BSC, ∴平面ABC⊥平面BSC. [解题后的点拨]要证明两个平面垂直,只要证明两个平面所成的二面角是直二面角或证明一个平面经过另一个平面的垂线。 例3. 如图6-4,ABCDEF是边长为a的正六边形,将此 六边形沿对角线AD折成二面角M-AD-N, 当此二面角 的余弦值为何值时，FC与AD所成的角为45°？ [分析]此题要从确定二面角的平面角入手，易证EC⊥AD, 所以翻折后即可得到二面角M-AD-N的平面角。 [解]图6-5是折叠后的立体图形,在正六边形ABCDEF中,连结EC,交 AD于G, ∵EG⊥AD,CG⊥AD, ∴∠EGC即是二面角M-AD-N的平面角。 ∵EF//AD, ∴EF⊥EG,EF⊥CG, ∴EF⊥平面ECG,EF⊥EC, 又∠EFC为FC与AD所成的角, ∠EFC=45°, ∴△EFC是等腰直角三角形,EC=EF=a. 又∵在Rt△EGD中, EG2=ED2―GD2=
, ∴EG=CG=
, 在△EGC中，
∴当二面角M-AD-N的余弦值为
时，FC与AD所成的角为45°. [巩固提高] (一)选择题： 1.面角是（ ） (A)两个平面相交所成的角; (B)一个平面绕这平面的一条直线旋转成图形; (C)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形; (D)从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这平面所组成的图形. 2.点D是二面角
- AB-
的棱AB上的一点，DP在
内且与AB成 45°角，DP与平面
成30°角，则二面角
- AB-
的度数是（ ） (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 3.列命题中正确的是（ ） (A)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线， 必垂直于另一平面; (B)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定 分别与另一平面垂直; (C)两个平面垂直，在其中一个平面内过一点作与它们交线垂直的直 线，必垂直于另一个平面; (D)两个平面垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直. 4.图6-6，已知二面角M- l- N的平面角为
，（

（0,
））,AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N内，BC在l上，CD在平面M内，若AB=BC=CD=
，则AD的长为（ ）。 （A）
（B）
（C）
（D）
5.图6-7，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF从EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那下列结论成立的是（ ） （A）SD⊥平面EFG (B) SG⊥平面EFG （C）GF⊥平面SEF (D) GD⊥平面SEF 6.二面角
的平面角为
,A,B

若AB=AC=BD=l,则CD等于( ) (A)
(B)
(C)3 (D)
(二)填空题: 7.方体ABCD – A?B?C?D?，则二面角B – A?C – D平面角的余弦值等于 . 8.60°的二面角
– l –
的面
内一点A到面β的距离为
，A在
上的射影为A?,则A?到面
的距离为 ，异面直线AA?，l间的距离为 . 9.
，
，
是有公共棱a的三个半平面，若二面角
– a –
为直二面角，
在
与
之间，二面角
– a –
为30°，则
上不在棱a 上的点到a的距离与到
的距离之比 . 10.正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B – AD – C后，BC=
AB，这时二面角B – AD – C的大小为 . 11.有一倾斜度为
的山坡,如果在斜坡所在平面上有一条与斜坡底线成
的直路上,前进100
那么升高了 . (二)解答题: 12.方体ABCD – A?B?C?D?中，
为面A?B?C?D?的中心。求平面O?AD与对角面ACC?A?所成二面角的正切值. 13.图6-8，P是ΔABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，D是AB边上任一点. (1)求证：平面PDC⊥平面PAB. (2)当PA=a，PB=b，PC=c,D在怎样的位置时，ΔPDC的面积为最小？最小面积是多少？ 14.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=AB=1，BC=2，将ΔABD沿BD折叠，与平面BCD成120°二面角. (1)求A和C的距离。 (2)求AC与BD成角的正切值. 15.已知ABCD为矩形,以CD为直径的半圆
平面ABCD,E为半圆面上一点(异于C,D),求证:OE是异面直线AD,BE的公垂线. 16.在二面角
中 ,直角三角形ABC在面M内,斜边AB在棱l上,两直角边AC,BC与面N所成角分别为
,二面角
的大小为
求证:
[自我反馈] (一)选择题: 1. C. 符合二面角的定义 2. B. 如图6-9，过P作
⊥
于
点，在
内作PM⊥AB于点M，连结P?M，则由三垂线逆定理可知P?M⊥AB，所以∠PMP? 即为
– AB –
的平面角。 ∵∠MDP=45°，∠PDP?=30° ∴PP?=
PD，PM=
PD ∴sin∠PMP'=
=
×
=
, ∴∠PMP?=45° 3.C.A错,如图6-10（甲）；B错，如图6-10（乙）；C对，根据面面垂直的性质定理；D错，这样的两条直线可能平行、异面或相交。 4.A.教材P44例3得.

5.B.因为折起后SG⊥GF，SG⊥GE，而GF与GE相交于G，所以SG⊥平面EFG. 6.C. CD的长度是异面直线AC和BD上两点间的距离,AB是它们的公垂线段,由公式得,
（二）填空题: 7.
.如图6-11 Δ
≌Δ
，过B作BE⊥A?C于E，连结DE，则DE⊥A?C ∴∠DEB为所求二面角的平面角。 DE=BE=
在ΔBDE中，BD=
∴cos∠BED=
。 8.
，1.如图 6-12，作A?B⊥l于B连结AB，则AB⊥l，∠
为二面角
– l –
的平面角，∴∠
=60°, ∵A
=
，∴
=1，AB=2，作A?C⊥AB，则A?C即为A?到
的距离。
C=
, ∴
B即为异面直线A
与l的距离，
B=1. 9. 1∶
．设P点是
上不在棱a上的点，作PA⊥
，PB⊥
，PC⊥a，垂足依次为A，B，C，易知PACB是平面图形，且∠ACP，∠PCB，∠ACB都是二面角的平面角. d1=PC·sin30°，d2=PC·sin60°, ∴
, 10.. ∵BD⊥AD，DC⊥AD，∴∠BDC是二面角B – AD – C的平面角，易证BD=DC=BC=
AB，∴∠BDC=60°. 11.
. 如图,
∴
在
中,
∴
（三）解答题: 12.图 6-13，连AC，BD相交于O，则BD⊥AC，BD⊥AA?，∴BD
平面ACC?A?. 作OE⊥AO?于E，连结DE，则OE为DE 在平面ACC?
上的射影，由三垂线定理得DE⊥AO? ∴∠OED为所求二面角的平面角.设正方体棱长为a，则OD=
, OE=
, 在RtΔOED中，tan∠OED=
, ∴平面O?AD与对角面ACC?
所成二面角的正切值为
. 13.1）∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA与PB是相交直线, ∴PC⊥平面PAB，又PC
平面PDC, ∴平面PDC⊥平面ABC. （2）由（1）得PC⊥平面PAB，PD
平面PAB, ∴PC⊥PD, ∴
=
, 当PD⊥AB时，PD最小，PD=
, ∴（
）最小值=
. 14. 如图 6-14， 作AE⊥BD于E，在平面BCD内作EG⊥BD，作CG∥BD，EG，CG交于G, 则∠AEG为二面角 A – BD – C的平面角。 ∴∠AEG=120°，而AE=
, 在ΔAEG中，
, 又BD⊥AE，BD⊥EG, ∴BD⊥平面AEG，又CG∥BD, ∴CG
平面AEG, ∴CG⊥AG. 在RtΔAGC中，
, CG∥BD ∴∠ACG为AC与BD所成的角 在RtΔAGC中，tan∠ACG=
15. ∵
平面ABCD，平面DEC
平面ABCD，∴
平面DEC. ∴
又
∥
∴
,CD为直径, ∴
, ∴DE
面BCE, ∴
, ∴DE是异面直线AD,BE的公垂线. 16.如图,作
平面N于
,作
于D,连结CD,则
∴
是二面角
的平面角,

,又

在直角三角形
中,
在
ABC中,
,
∴
[走向高考] 1.(1993年全国高考题）如图6-15 ABCD是 正方形，E是AB的中点，如将ΔDAE和ΔCBE分 别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记 A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成 的二面角为 度. 2.(1996年全国高考题)如图6-16，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 . 3.(1997年全国高考题)如图6-17，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点. （Ⅰ）证明AD⊥D1F； （Ⅱ）求AE与D1F成的角； （Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1 解答： 翻折后如图6-18 取DC的中点F，连PF，EF，由PD=PC，ED=EC，可知EF⊥CD，PF⊥CD，故∠PFE为所求二面角的平面角。 ∵PE⊥PD，PE⊥PC， ∴PE⊥平面PCD，PE⊥PF. 设正方形边长为a，在RtΔPEF中，
Sin∠PFE=
，∴∠PEF=30° 连结CF，CE，由已知∠CBF就是异面 直线AD和BF所成的角，∠CBE就是面ABCD 与面ABEF所成二面角的平面角。 ∴∠CBE=60°. 设正方形边长为a， ∴在等边ΔCBE中，CE=a, ∵AB⊥BC，AB⊥EB, ∴AB⊥平面BCE，AB⊥EC, ∵AB∥EF, ∴EF⊥EC，在RtΔAEF中，AF=
, ∴在ΔCBE中，cos∠CBF=
, ∴AD与BF所成角的余弦值为
. 3．（Ⅰ）∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1, 又D1F(面DC1, ∴AD⊥D1F. （Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG。因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、AD平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtΔA1AG≌ΔRtΔABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角是直角. （Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED。又因为D1F
面A1FD1. ∴面AED⊥面A1FD1. [解析1] 1。两个平面垂直的判定:(1)定义法：即证明两个相交平面的二面角的平面角是直角。(2)判定定理：即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 符号语言表述是:l⊥α l
β 简单说:线面垂直?面面垂直 2。两个平面垂直的性质: 性质定理: 即如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号语言表述是:



简单说:面面垂直?线面垂直 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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