12.11 正态分布
典例精析
题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间[－4，－2]的概率.
【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ＝0，由最大值为知σ＝2，
所以P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.682 6，
P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.954 4，
所以P(－4≤x≤－2)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
【点拨】应当熟记：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
【变式训练1】设X~N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(X≥5).
【解析】因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.
(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，
所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]
＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954 4)＝0.022 8.
题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？
【解析】由题意μ＝60，σ＝8，
因为P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
所以P(52＜X≤68)＝0.682 6，
又此正态曲线关于x＝60对称，
所以P(60＜X≤68)＝P(52＜X≤68)＝0.341 3，
从而估计在60分到68分之间约有341 3人.
【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ－σ，μ＋σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.
【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30, 100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
【解析】由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.
总结提高
1.服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X＜a)＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同.
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同.
②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a).
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