2.2　函数的单调性 典例精析 题型一　函数单调性的判断和证明 【例1】讨论函数f(x)＝ (a≠)在(－2，＋∞)上的单调性. 【解析】设x1，x2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2， 所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0. 所以当a＜时，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)， 函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数； 当a＞时，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数. 【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断. 【变式训练1】已知函数f(x)满足f(π＋x)＝f (π－x)，且当x∈(0，π)时，f(x)＝x＋cos x，则f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是(　　) A. f (2)＜f (3)＜f (4) B. f (2)＜f (4)＜f (3) C. f (4)＜f (3)＜f (2) D. f (3)＜f (4)＜f (2) 【解析】B. 题型二　函数单调区间的求法 【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y＝|x－1|； (2)y＝x2＋2|x－1|； (3)y＝
. 【解析】(1)y＝|x－1|＝
所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (2)y＝x2＋2|x－1|＝
所以此函数的单调递增区间是 (1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (3)由于t＝－x2＋4x－3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出. 【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算 “
”如下：当a≥b时，a
b＝a；当a＜b时，a
b＝b2.则函数f (x)＝(1
x)x－(2
x)，x∈[－2,2]的最大值是(　　) A.－1 B.6 C.1 D.12 【解析】B. 题型三　函数单调性的应用 【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有＞0. (1)试判断函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论； (2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2). 【解析】(1)当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由＞0，得f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数. (2)因为f(x)在[－1,1]上是增函数.所以由f(5x－1)＜f(6x2)知，
所以0≤x＜，所求不等式的解集为{x|0≤x＜}. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域. 【变式训练3】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有＞0，给出下列命题： ①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为　　　　　(把所有正确命题的序号都填上). 【解析】①②④. 总结提高 1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域. 2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线. 3.导数是解决函数单调性问题的有力工具. 4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧. 5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.

---

【点此下载】