5.4 三角恒等变换
典例精析
题型一 三角函数的求值
【例1】已知0＜α＜，0＜β＜，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求α＋β的值.
【解析】由4tan ＝1－tan2，得tan α＝＝.
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.
又因为α、β∈(0，)，所以α＋β＝.
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于( )
A. B. C. D.
【解析】因为α＋＝(α＋β)－(β－)，
所以tan(α＋)＝tan[ (α＋β)－(β－)]＝＝.
故选C.
题型二 等式的证明
【例2】求证：＝－2cos(α＋β).
【证明】证法一：
右边＝＝
＝＝＝左边.
证法二：－＝＝＝2cos(α＋β)，
所以－2cos(α＋β)＝.
【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
题型三 三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求证：tan C＝；
(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝＝＝＝
＝＝.
(3)由(2)知tan C＝＝≤＝，
当且仅当2tan B＝，即tan B＝时，等号成立.
所以tan C的最大值为.
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)，
(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即＝，＝－.
所以tan(B＋C)＝，tan(A＋B)＝－.
因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝，A＋B＝.
又A＋B＋C＝π，故A＝，B＝C＝.
所以△ABC是顶角为的等腰三角形.
总结提高
三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.
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