电子备课系统教学资源--第一章　集合与常用逻辑用语高考导航 -1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 -1.3　简易逻辑联结词、全称量词与存在量-第十章　立体几何高考导航考试要求 -　10.2　空间几何体的表面积与体积 -10.3 空间点、线、面之间的位置关-10.4　直线、平面平行的判定及其性质 -10.5　直线、平面垂直的判定及其性质-10.6　空间向量及其运算典例精析 -10.7　空间角及其求法典例精析题-10.8　立体几何综合问题典例精析 -第十一章　算法初步高考导航考试要-11.2　基本算法语句典例精析题型-11.3　算法案例典例精析题型一　-第十二章　排列组合、二项式定理、概率 -12.10　离散型随机变量的期望与方差 -12.11　正态分布典例精析题型一-12.2　排列与组合典例精析题型一-12.3二项式定理典例精析题型一　-12.4　随机事件的概率与概率的基本性质-12.5　古典概型典例精析题型一　-12.6　几何概型典例精析题型一　-12.7　条件概率与事件的独立性典例-12.8　离散型随机变量及其分布列典-12.9　独立重复试验与二项分布典例-第十三章　统计案例高考导航考试要-13.2　两变量间的相关性、回归分析和独-第十四章　推理与证明高考导航考试-14.2　直接证明与间接证明典例精析-14.3　数学归纳法典例精析题型一-第十六章　几何证明选讲高考导航考-16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的-第十七章　坐标系与参数方程高考导航 -17.2　参数方程典例精析题型一　-第十八章　不等式选讲高考导航考试-18.2　不等式的证明(一) 典例精析-18.3　不等式的证明(二) 典例精析 -18.4　柯西不等式和排序不等式典例-2.10函数的综合应用典例精析题型-第二章　函　数高考导航考试要求-2.2　函数的单调性典例精析题型一-　2.3　函数的奇偶性典例精析题型-　2.4　二次函数典例精析题型一　-2.5　指数与指数函数典例精析题型-2.6　对数与对数函数典例精析题型-2.7　幂函数与函数的图象典例精析 -2.8　函数与方程典例精析题型一　-2.9　函数模型及其应用典例精析题-第三章　导数及其应用高考导航考试-3.1导数的应用(一) 典例精析题型-3.3　导数的应用(二) 典例精析 -3.4　定积分与微积分基本定理典例-第四章　平面向量高考导航考试要求-4.2　平面向量的基本定理及其坐标表示 -4.3　平面向量的数量积及向量的应用 -第五章　三角函数高考导航考试要求-5.2　同角三角函数的关系、诱导公式 -5.3　两角和与差、二倍角的三角函数 -　5.4　三角恒等变换典例精析题型-　5.5　三角函数的图象和性质典例精-　5.6　函数y＝Asin(ωx＋)的-5.7　正弦定理和余弦定理典例精析 -5.8 三角函数的综合应用典

5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一　利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值. 【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M. 设∠PAM＝α，0≤α≤，则PM＝90sin α，AM＝90cos α，所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，于是S四边形PQCR＝PQ·PR 　＝(100－90cos α)(100－90sin α) 　＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 设t＝sin α＋cos α，则1≤t≤，sin αcos α＝. S四边形PQCR＝8 100·－9 000t＋10 000 ＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤). 当t＝时，(S四边形PQCR)max＝14 050－9 000 m2；当t＝时，(S四边形PQCR)min＝950 m2. 【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围. 【变式训练1】若0＜x＜，则4x与sin 3x的大小关系是(　　) A.4x＞sin 3x B.4x＜sin 3x C.4x≥sin 3x D.与x的值有关【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故选A. 题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据. 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为.所以y＝cos t＋1. (2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，所以cos t＋1＞1，所以cos t＞0，所以2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3.① 因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24. 故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00. 【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝；③φ＝；④k＝5.其中正确结论的序号是　　　　　. 【解析】①②④. 题型三　正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤. 【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得 BM＝＝，同理在△BAN中，BN＝＝，所以在△BMN中，由余弦定理得 MN＝＝. 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是　　　海里/小时. 【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有＝tan∠OCB＝tan 60°且＝tan∠OCA＝tan 75°，因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有 OC＝＝＝＝＝＝5. 由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时. 总结提高 1.解三角形的应用题时应注意： (1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等； (2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解； (3)方程思想在解题中的运用. 2.解三角函数的综合题时应注意： (1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X； (2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c； (3)换元方法在解题中的运用.

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