6.4 数列求和
典例精析
题型一 错位相减法求和
【例1】求和：Sn＝＋＋＋…＋.
【解析】(1)a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)a≠1时，因为a≠0，
Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋.②
由①－②得 (1－)Sn＝＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝.
综上所述，Sn＝
【点拨】(1)若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法；
(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；
(3)当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.
【变式训练1】数列{}的前n项和为( )
A.4－ B.4＋ C.8－ D.6－
【解析】取n＝1，＝－4.故选C.
题型二 分组并项求和法
【例2】求和Sn＝1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋).
【解析】和式中第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2(1－).
所以Sn＝2[(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]
＝－(＋＋…＋)]
＝2[n－]＝2[n－(1－)]＝2n－2＋.
【变式训练2】数列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为( )
A.2n－1 B.n·2n－n
C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2
【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故选D.
题型三 裂项相消法求和
【例3】数列{an}满足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若对任意非零自然数n，Tn＞恒成立，求m的最大整数值.
【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
从而可知数列{an}为等差数列，设其公差为d，则d＝＝－2，
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)bn＝＝＝(－)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1＋－－)＝－－＞ ，
上式对一切n∈N*恒成立.
所以m＜12－－对一切n∈N*恒成立.
对n∈N*，(12－－)min＝12－－＝，
所以m＜，故m的最大整数值为5.
【点拨】(1)若数列{an}的通项能转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和.
(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.
【变式训练3】已知数列{an}，{bn}的前n项和为An，Bn，记cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和为( )
A.A10＋B10 B. C.A10B10 D.
【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10项和为A10B10，故选C.
总结提高
1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.
2.数列求和实质就是求数列{Sn}的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.
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