第九章 圆锥曲线与方程
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1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
4.了解圆锥曲线的简单应用；
5.理解数形结合的思想；
6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.
本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.
圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.
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9.1 椭 圆
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和
，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
【解析】由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，故a＝，
由勾股定理得，()2－()2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝，
故所求方程为＋＝1或＋＝1.
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C1的方程为 .
【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－，0)，C(0，)，D(2，－2)，E(2，)，F(3，－2).
通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.
显然半焦距b＝，则不妨设椭圆的方程是＋＝1，则将点
A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是＋＝1.
方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.
不妨设有两点y＝2px1，①y＝2px2，②＝，
则可知B(－，0)，C(0，)不是抛物线上的点.
而D(2，－2)，F(3，－2)正好符合.
又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－，0)，C(0，)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(2，)这两个点代入，可得椭圆的方程是＋＝1.
题型二 椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，
因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤()2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，
即e≥，所以e的取值范围是[，1).
(2)由(1)知mn＝b2，所以＝mnsin 60°＝b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()2，|PF1|≥a－c.
【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆
(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是 .
【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，
则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－)＋(|PF2|－)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.
题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，
即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|?kPN＝－1，即＝－1?c＝3.
从而a＝3，b＝3，故E的方程为＋＝1.
【变式训练3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是( )
A. B. C. D.
【解析】设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x＝－，抛物线准线为x＝
－3c，x0－(－)＝x0－(－3c)?＝?e＝.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
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