第二节 圆的方程（2）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；
3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．
【课堂互动】
自学评价
1．以为圆心，为半径的圆的标准方程： ．
2.将展开得：
．
3.形如的都表
示圆吗？不是 ．
（１）当时，方程表
示以为圆心，
为半径的圆；
（2）当时，方程表示一个点；
（3）当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；
４．圆的一般方程：
．
注意：对于圆的一般方程
（１）和的系数相等，且都不为（通常都化为）；
（２）没有这样的二次项；
（３）表示圆的前提条件：
，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．
【精典范例】
例１：求过三点的圆的方程．
分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．
【解】：法一：设圆的方程为
，
∵三点都在圆上，
∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，
得：，
解得：，
所以，所求圆的方程为：
．
法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．
点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．
例2：已知线段的端点的坐标是
，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？
分析：线段的端点静止，在圆
上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．
【解】设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）
于是，有
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，
即：（＊＊），
将（＊）式代入（＊＊），得：
，
整理得
所以满足的关系为：，
其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．
点评: 该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．
例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．
分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．
【解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为
；
设圆拱所在的圆的方程为
，
∵点在所求的圆上，则坐标代入得：
，解之得，
∴圆拱所在的圆的方程为：
；
将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）．
答：支柱的长约为米．
点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．
追踪训练一
1.下列方程各表示什么图形？
（１）；
（２）；
（３）．
【解】（１）圆心为，半径为２的圆；
（２）一个点；
（３）一个圆心为，半径为的一个半圆（）（图略）．
２．圆的圆心为：，半径为．
３. 求过三点的圆的方程．
【解】设圆的方程为
，
∵，，三点都在圆上，
∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，
得：，
解得：，所以，所求圆的方程为：．
４.求圆关于直线对称的图形的方程．
【解】可化为
，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．
思维点拔：
在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．
第13课时 圆的方程（２）
分层训练
１．圆的圆心坐标和半径分别为 ( )
２．圆的方程为，当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）
３．如果圆关于直线对称，则（ ）
４．若方程
表示一个圆，则常数的取值范围是_______．
５．若圆的圆心在直线上,则该圆的半径等于______．
６．方程表示的曲线与直线围成的图形面积是 ．
７．已知点是圆上任意一点，为原点，则的最大值为__，
最小值为______．
８．若直线与圆
相切，则实数等于__________．
９．若圆过点，，且圆心在直线上，求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径．
【解】
１０．求证：无论实数如何变化，点都在圆之外．
【证明】
探究拓展：
１１．圆过点，，且在轴上截得的弦长为．求圆的方程．
１２．方程
，求证：当取任意值时该方程表示的图形为圆，且恒过两定点．
【证明】
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【点此下载】