第二章 平面解析几何初步
第二节 圆与方程
第14课时 直线与圆的位置关系
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学习要求
1．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标；
2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；
3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；
4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；
5．灵活处理与圆相交的问题．
【课堂互动】
自学评价
1．直线与圆有一个交点称为 相切，有两个交点称为相交，没有交点称为相离．
2.设圆心到直线的距离为，圆半径为，
当时，直线与圆相离，
当时，直线与圆相切，
当时，直线与圆相交．
3.直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程组有两组不同的解，则直线与圆相交．
【精典范例】
例1：求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
分析：直线方程和圆的方程联立方程组即可
【解】直线和圆的公共点坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点坐标为．
直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．
例2：自点作圆
的切线,求切线的方程．
分析：根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解．
【解】法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为
即
如图，因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
故解得或．
因此，所求直线的方程是或
法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件．
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为由于直线与圆相切，所以方程组仅有一组解．
由方程组消去，得关于的一元二次方程
，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式解得或因此，所求直线的方程是或．
点评:该题用待定系数法先设直线方程，应注意直线的斜率是否存在的问题．本题给出了两种解法，可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多．
例3：求直线被圆截得的弦长．
分析： 可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题
【解】法1:如图，设直线与圆交于两点，弦的中点为，则（为坐标原点），
所以
所以
．
法2:直线和圆的公共点坐标就是方程组的解
解得
所以公共点坐标为
直线被圆
截得的弦长为
追踪训练一
1.求过圆上一点的圆的切线方程．
答案：．
2. 自点作圆的切线,求切线的方程．
答案：．
3.从圆外一点向圆引切线，求切线长．
答案：．
【选修延伸】
一、圆、切线、截距
例4: 已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.
分析：用待定系数法求解．
【解】由题意设切线与轴和轴的截距为，，则
①时，设的方程为，即，
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故
解得或
所以的方程为或
②时，设的方程为，即
所以，解得或
所以的方程为或
综上所述：的方程为或或或
.
点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．
例5：若直线与恰有一个公共点，求实数的取值范围.
分析：由题意可化为表示一个右半圆，如图所示，对于当变化时所得的直线是互相平行的，由图可知与半圆有一个交点
与半圆正好有两个交点，所以位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，另外与半圆相切也符合题意
【解】由题意可化为
表示一个右半圆，如图所示
直线的方程为：，
直线的方程为：，
因为直线与半圆相切，
所以，解得
所以直线的方程为：，
由图可知位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，且与半圆相切，
所以实数的取值范围为：
或
点评:本题应用数形结合的方法去解题．
思维点拔：
在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．
追踪训练二
1．已知圆，求该圆与轴和轴的截距的绝对值相等的切线的方程．
答案：或．
2．若直线与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
答案：．
第14课 直线与圆的位置关系
分层训练
1．直线与圆
的位置关系为： （ ）
相离 相切 相交但直线不过圆心相交且直线过圆心
2．圆 到直线的距离为的点共有 （ ）
1个 2个 3个 4个
3．圆与轴交于两点，圆心为，若，则的值是 （ ）
4．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 （ ）在圆上 在圆外
在圆内 不能确定
5．过圆上一点作圆的切线，该切线的方程为 ．
6．与直线垂直，且与圆相切的直线方程是 ．
7．圆截直线所得的弦长等于 ．
8．过向圆引切线，求切线方程并求切线长。
9．一个圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求该圆的方程．
拓展延伸
10．已知直线与圆
（其圆心为点）交于两点，若，求实数的值．
11．自点射出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切 ，求光线所在直线方程．
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