第二章 平面解析几何初步
第三节 空间直角坐标系
第16课时 空间直角坐标系
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．感受建立空间直角坐标系的必要性；
2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；
3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．
【课堂互动】
自学评价
1．空间直角坐标系
从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系.点叫做坐标原点， 轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面．
2．空间右手直角坐标系的画法
通常，将空间直角坐标系画在纸上时，轴与轴、轴与轴均成，而轴垂直于轴．轴和轴的单位长度相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的单位长度的一半 ．
3. 空间点的坐标表示
对于空间任意一点，作点在三条坐标轴上的射影，即经过点作三个平面分别垂直于轴与轴与轴，它们与轴与轴和轴分别交与．点在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序实数对叫做点的坐标，记为 ．
【精典范例】
例1：在空间直角坐标系中，作出点．
分析：可按下列步骤作出点，
【解】所作图如下左图所示：
例2：如上右图，已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
【解】因为，点在坐标原点，即，且分别在轴、轴、轴上，所以它们的坐标分别为．
点分别在平面、平面和平面内，坐标分别为，．
点在三条坐标轴上的射影分别是点，故点的坐标为．
例3：（1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形；
（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．
【解】（1）取三个点．
（2）三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在平面的同侧，且到平面的距离相等，所以平面平行于平面，而且平面内的每一个点在轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足．
追踪训练一
1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：
答案略
2. 已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
答案：，，，，，，，．
3．写出坐标平面内的点的坐标应满足的条件．
答案：平面上的点的坐标都为．
【选修延伸】
一、对称点
例4: 求点关于平面，平面及原点的对称点．
【解】在平面上的射影为在平面上的射影为，关于平面的对称点为关于平面及原点的对称点分别为、
点评:一般的，点关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点
追踪训练二
1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点的坐标所满足的条件．
答案：
若点在轴上，则；
若点在轴上，则；
若点在轴上，则；
若点在平面上，则；
若点在平面上，则；
若点在平面上，则．
第16课 空间直角坐标系
分层训练
1．空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 （ ）
2．空间直角坐标系中，两点的位置关系是 （ ）
关于轴对称 关于平面对称
关于坐标原点对称 以上都不对
3．动点的坐标始终满足，则动点的轨迹为 （ ）
轴上一点 坐标平面
与坐标平面平行的一个平面
平行于轴的一条直线
4．空间中过点，且与坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 （ ）
或 且
5．点在轴、轴上的射影的坐标分别是 、 ．
6．在空间直角坐标系中，点的坐标是，过点向平面作垂线，则垂足的坐标是 ．
7．空间到两点距离相等的点的坐标所满足的条件为 ．
8．在空间直角坐标系中画出下列各点：
、、．
9．如图，正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
探究拓展
10．试写出三个点的坐标，使它们分别满足下列条件（答案不惟一）：
（1）三个点在一条平行于轴的直线上；
（2）三点所在的平面平行于坐标平面．
11．在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出它们所在直线方程．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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