§2. 2 .1 综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点： 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程: （一）导入新课： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 （二）推进新课： 1. 综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a,b>0,求证 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为， 所以。 因为， 所以。 因此 。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：  综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明． 证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ② 由①② ，得 B=． ③ 由a, b，c成等比数列，有 ． ④ 由余弦定理及③，可得 ． 再由④，得 ． 即 ， 因此 ． 从而 A=C． 由②③⑤，得 A=B=C=． 所以△ABC为等边三角形． 注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 例2、已知求证 分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。  证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设  故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 2. 分析法 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 例如：基本不等式  （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证  由于显然成立，因此原不等式成立。 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。 分析法可表示为：  分析法的特点是：执果索因 例3、求证。 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。 证明：因为都是正数，所以为了证明 ， 只需明 ， 展开得 ， 只需证 ， 因为成立，所以  成立。 在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子． 例4 、已知，且  ①  ② 求证：。 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得 . ③ 另一方面，要证 ， 即证  ， 即证 ， 即证  ， 即证  。 由于上式与③相同，于是问题得证。 （三）课堂练习： 1、课本P89页 练习1、2、3 2、补充练习：   （四）课堂小结： 综合法和分析法的特点。 （五）布置作业： 课本P91页 1、2、3。
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