第三十二课时 函数与方程小结与复习
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学习要求
1．了解函数的零点与方程根的关系；
2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．
自学评价
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
【精典范例】
例1：已知二次函数的图象经过点三点，
（1）求的解析式；
（2）求的零点；
（3）比较，，，与的大小关系．
分析：可设函数解析式为，将已知点的坐标代入方程解方程组求、、．
【解】（1）设函数解析式为，
由解得，
∴．
（2）令得或，
∴零点是．
（3） ，
，，．
点评：当二次函数的两个零点都在（或都不在）区间中时，；有且只有一个零点在区间中时，．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到）．
分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．
解法一：设，通过观察函数的草图得：
，，
∴方程有一根在内，设为，
∵，∴，
又∵，∴，如此继续下去，得
，
，
∵精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为．
点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．
分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．
解法二：将原方程写成 ①
取代入等式右边得，再将代入方程①右边，得，……
如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在，∴该方程的近似解为，精确到后为．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为．
点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．
例3：已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围．
分析：
【解】（1）当时，与轴的交点为，符合题意；
（2）时，，
时，的图象是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点的两侧；
时，的图象是开口向上的抛物线，必须，解得
综上可得的取值范围为.
追踪训练一
1．函数的图象与轴交点横坐标为 （ D ）
）
A. B. C.或 D.
2．已知则方程的解的个数是（ A ）
A. B. C. D. 不确定
3．直线与曲线
只有一个公共点，则k的值为（ A ）
A. 0， B. 0，
C. D. 0，
4．函数与轴交点坐标是 、，方程的根为 或 ．
5．已知方程在区间中有且只有一解，则实数的取值范围为 .
6．已知函数过点，则方程的解为 ．
7．求方程的近似解（精确到）．
答案：和
8．判断方程（其中）在区间内是否有解．
答案：有解．
第32课 函数与方程小结与复习
分层训练
1．已知二次函数（）的对称轴是，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在区间上有零点的函数是（ ）
A．B．C． D．
3．函数在区间上的最大值为，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为____________．
5．已知一个二次函数，当时有最大值，它的图象截轴所得的线段为．
（1）求该函数的解析式；
（2）试证明方程有两个不等的实数根，且两根分别在区间和内；
（3）求出该函数的零点．
【解】
6．方程的实数根的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
7．二次函数满足，且在上递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是______________。
10．已知函数，，且方程有实根，
（1）证明：且；
（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由．
拓展延伸
11．已知二次函数 (,,), ,对于任意，都有，且当时，有．
（1）求的值；（2） 求证, ；
（3） 当时，函数
是单调的，求证或．
12．已知二次函数 ()，设关于的方程的两根为、，的两实根为、．
（1）若，求、的关系式；
（2）若、均为负整数，且，求的解析式；
（3）若，求证：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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