第三十三课时 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系． 【解】  点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本（万元）、销售收入（万元）以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式. 分析：销售利润销售收入成本,其中成本 (固定成本可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 . 单位成本与总产量的关系为 . 销售收入与总产量的关系为 . 利润与总产量的关系为  ． 例3．大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）． 求：（1）与的函数关系式； （2）以及处的气温． 【解】（1）由题意， 当时，， ∴当时，， 从而当时，． 综上，所求函数关系为 ； （2）由（1）知，处的气温为 ， 处的气温为． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是（元），若每售出一件这种商品的收入是元，那么生产并销售这种商品的数量是件时，该企业所得的利润可达到 . 2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（为线段，为某二次函数图象的一部分，为原点）. （1）写出服药后与之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.  解：（1）由已知得 （2）当时，，得； 当时，， 得 ， ∴ ∴， ∴， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时. 【选修延伸】 一、函数与图象 高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）  A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少 C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加 答案：C 分析：该题考查对图表的识别和理解能力. 【解】经比较可发现，月份用电量最多，而月份气温明显不是最高.因此项错误.同理可判断出项错误.由、、三个月的气温和用电量可得出项正确. 思维点拔： 数学应用题的一般求解程序 （1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； （2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得到数学结论； （4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论． 追踪训练二 1. 有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式，并求出它的定义域．  分析：关键是用半径与腰长表示上底，由对称性：，故只要求出． 解：设腰长，作垂足为， 连结，则，∴∽， ∴，， ∴ ∴周长 ， ∵是圆内接梯形 ∴， 即，解得， 即函数的定义域为 本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题. 第33课 函数模型及其应用（1） 分层训练 1．某工厂生产一种产品每件成本为元，出厂价为元，厂家从每件产品获纯利，则（ ）     2．某商场进了两套服装，提价后以元卖出，降价后以元卖出，则这两套服装销售后 （ ） 不赚不亏 赚了元 亏了元 赚了元 3．某商品降价后，欲恢复原价，则应提价（ ）         4．某种茶杯，每个元，把买茶杯的钱数（元）表示为茶杯个数（个）的函数 ，其定义域为 ． 5．某种商品的进货价为元，零售价为每件元，若商店按零售价的降价出售，仍可获利（相对于进货价），则 元． 6．建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁的造价为元/，池底的造 价为元/，把总造价（元）表示为底的一边长的函数． 7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又沿原路返回千米，再前进千米，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是 （ ）     8．某物体一天中的温度是时间的函数：，时间单位是小时，温度单位是，时表示，其后取值为正，则上午时的温度为 （ ）     9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了米，则下落的距离（米）与所经过的时间（秒）间的关系为 . 10．某商人购货，进价已按原价扣去，他希望对货物定一新价，以便按新价让利销售后仍可获得进价的的纯利，则此商人经营这种货物的件数与获利总额之间的函数关系式是 . 11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定位元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过件. （1）设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本） 拓展延伸 12．今有一组实验数据如下：  1．99 3．0 4．0 5．1 6．12   1．5 4．04 7．5 12 18．01   现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） （） （） （） （） 13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示. （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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