课题一：平面的基本性质
一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
二．课前预习：
1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ）
，直线
，且不共线与重合
选
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）
选
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）
1个 2个 3个 4个
选
4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．
答案：7个．
三．例题分析：
例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但A(d，如图1．
∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．
解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，
则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于
点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在
平面ABD与平面CEF的交线上．同理，可作出点N，N在
平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求．
例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．
证明 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．
∴ AB，CD必定相交于一点，
设ABCD＝M．
又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．
又∵αβ＝l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么 （ ）
一定在直线上
一定在直线上
可能在直线上，也可能在直线上
既不在直线上，也不在直线上
选
2．有下列命题：
①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是 ．
答案：①③
3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．
4．四边形中，，则成为空间四面体时，的取值范围是 ．
答案：．
5．如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．
证明：易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，
所以M，N，L∈平面PQR平面BCD，即M，N，L共线．
6．如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图．
作法 ⑴连接PQ，并延长之交A1B1的延长线于T；
⑵连接PR，并延长之交A1D1的延长线于S；
⑶连接ST交C1D1、B1C1分别于M，N，则线段MN
为平面PQR与面A1B1C1D1的交线．
⑷连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC1D1，面BCC1B1的交线．
得到的五边形PQNMR即为所求的截面图（如图4）．
说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1．
解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．
有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．
7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝P．
求证：P∈BO1．
证明 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．
∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．
∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，
∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，
∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．
又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，
∴平面A1BC1平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1．
说明 一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．
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