课题一：空间直线
一．复习目标：
1．了解空间两条直线的位置关系．
2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．
二．课前预习：
1．下列四个命题：
（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线
（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面
（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面
其中真命题个数为 （ D ）
3 2 1 0
2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）
300 450 600
3．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．（答案：）
4．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为____________________．
答案：
三．例题分析：
例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都
在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。
小结：
例2．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，．
（1）求证：，，．
（2）求异面直线和的距离．
（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，
BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理
可知，A1A⊥A1B
（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，
∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，
∴，又AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=cm。
小结：
例3． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角
解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，
∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=AB·cos300= ，
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。
说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。
小结：
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（ C ）
25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米
2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b
间的距离为定值，则这样的直线b有（ D ）
1条 2条 4条 无数条
3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ B ）
1条 2条 3条 4条
4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小 ．
答案：．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．
证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
连结B1D1，A1C1，BD，AC．
设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．
∴ M，N分别是B1D1，AC的中点．
连结BM，D1N．
∵ BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
∴ 四边形BDD1B1是平行四边形．
在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，
在平行四边形BDD1B1中，
∵ D1M∥NB，且D1M＝NB，
∴ 四边形BND1M是平行四边形．
∴ BM∥ND1，即 OM∥O1D1，
∴ O是BO1的中点，即 O1O＝OB1．
同理，OO1＝O1D．
∴ O1O＝OB1＝O1D．
综上，OB1∶OD1＝1∶2．
6．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．
证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．
∴ AB，CDγ．
∴ ABα，D∈γ．
由题知，ABα，D∈α，且D(AB，
根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．
同理，β与γ重合．
∴ α与β重合，这与题设矛盾．
∴ AB，CD不能平行．
7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．
设直线CD1与BC1共面α．
∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．
∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，
∴C，B，C1∈平面BB1C1C．
∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．
∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．
因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
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