第一章《立体几何初步》单元知识总结 知识链接 点击考点 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。 理解平面的基本性质及确定平面的条件。 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。 名师导航 1.学习方法指导 空间几何体 ①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。 ②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。 ③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。 ④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由和，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。 点，线，面之间的位置关系 ①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。 ②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行。 ③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直。 2.思想方法小结 在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。 3.综合例题分析 例1：如图，P是ABC所在平面外一点，，，分别是，，的重心。 求证：平面平面ABC； P 求：. 证明:(1) 连结,,,设, ,,则D,E,F分 别是BC,AC,AB的中点,且    C  A B 所以,   , 且,, 所以 , 从而, 平面平面ABC. (2) 由平面几何知识有，，  所以， . 点评: (1)由线线平行 线面平行 面面平行,是证明平行问题的常用方法. (2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。 例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。 分析：如图，设P为正四面体ABCD内任一点，AO为正四面体 A 的高，点P到各面的距离分别为 则 P B D C 即   正四面体各面是全等的正三角形     点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。 例3：圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为。求圆台的上，下底面半径（）。 解：如图，设圆台母线为， 则，由平面几何知识得，  即  又   由题意得，  即   代入 得 ，，. 点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题. (2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用. 例4．已知三棱锥中，，，⊥平面，， 分别是上的动点，且， （Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面； （Ⅱ）当为何值时，平面⊥平面？ 证（Ⅰ）∵平面，∴， ∵，且，∴平面， 又∵（）， ∴不论为何值，恒有，∴平面，平面， ∴不论为何值恒有平面⊥平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又要平面平面， ∴平面，∴， ∵，，， ∴， ∴，由得， ∴， 故当时，平面平面． 点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。 误区莫入 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把它延展开来。如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确。如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”在空间就不正确。而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等。
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