点到直线的距离公式
一、教学目标
(一)知识教学点
点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．
(二)能力训练点
培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．
(三)知识渗透点
由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．
二、教材分析
1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．
2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．
3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．
三、活动设计
启发、思考，逐步推进，讲练结合．
四、教学过程
(一)提出问题
已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？
(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决
思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则
当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离．
方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|
进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法：
方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|
方法5 过P作x轴的垂线交L于S
∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？
思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)．
思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
思考题4 求点P(2，1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36)．
过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R，
(三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到
设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，x1)(图1-37)．
∵PR∥Ox，
∴y1=y．
代入直线l的方程可得：
当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．
当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．
∵α＜90°，
∴|PQ|=|PR|sinα1
这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：
如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．
(四)例题
例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．
解：(1)根据点到直线的距离公式，得
(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以
例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．
解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．
例3 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．
解：正方形的边心距
设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到
C1=-5(舍去0)或C1=7．
∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．
设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这
解之有C2=-3或C2=9．
∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．
(五)课后小结
(1)点到直线的距离公式及其证明方法．
(2)两平行直线间的距离公式．
五、布置作业
1．(1．10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离：
2．(1．10练习第2题)求下列点到直线的距离：
3．(1．10练习第3题)求下列两条平行线的距离：
(1)2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0．
(2)3x+4y=10， 3x+4y=0．
解：x-y-6=0或x-y+2=0．
5．正方形中心在C(-1，0)，一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边所在的直线方程．
解：此题是例3交换条件与结论后的题：
x+3y-5=0， x+3y+7=0， 3x-y+9=0．
六、板书设计
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