第八节对数与对数函数
[知识能否忆起]
1．对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1＝0.
②logaa＝1.
③对数恒等式：alogaN＝N.
④换底公式：logab＝.
推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则：
如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④log amMn＝logaM.
2．对数函数的概念
(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
01时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，则A∩B为( )
A. B.
C. D．(0,2)
解析：选C ∵A＝{y|y>0}，B＝，
∴A∩B＝.
2．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(0,1)
解析：选C 当x＝1时y＝0.
3．函数y＝lg |x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：选B y＝lg |x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
4．(2012·江苏高考)函数f(x)＝ 的定义域为________．
解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤?0＜x≤，故所求定义域为(0， ]．
答案：(0， ]
5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2.
答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
2．对数值取正、负值的规律：
当a>1且b>1，或00；
当a>1且01时，logab<0.
3．对数函数的定义域及单调性：
在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
对数式的化简与求值
典题导入
[例1] 求解下列各题．
(1)lg －lg＋lg＝________；
(2)若2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[自主解答] (1)lg －lg＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
(2)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，
∴logm10＝2，即m2＝10.
解得m＝(∵m>0)．
[答案] (1) (2)
由题悟法
对数式的化简与求值的常用思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
以题试法
1．化简：(1)lg＋lg 70－lg 3－；
(2)3－45×2－11.
解：(1)原式＝lg－
＝lg 10－
＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(2)原式＝3－210×2－11
＝3－2－1
＝－.
对数函数的图象及应用
典题导入
[例2] (1)(2012·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
(2)(2012·新课标全国卷)当00，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
(2)法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
法二：∵04x>1，∴01时，如图，
要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1.
所以10；当x<0时，y＝f(1－x)为增函数，且y<0.
对数函数的性质及应用
典题导入
[例3] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[自主解答] (1)因为f(x)的定义域为R，
所以ax2＋2x＋3>0对任意x∈R恒成立．
显然a＝0时不合题意，
从而必有即解得a>.
即a的取值范围是.
(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－10，且a≠1)．
以题试法
3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；
当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当01,00；反之，logaN<0.
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针对训练
1．(2012·北京东城区综合练习)设a＝log3，b＝0.3，c＝ln π，则( )
A．aln e＝1，故ab>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析：选B 因为函数y＝x为增函数，所以a＝0.1>0＝1；
因为sin＝sin＝sin＝<1，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数，所以ln sin＝ln>，而函数y＝logx为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log10时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.
6．已知函数f(x)＝log|x－1|，则下列结论正确的是( )
A．f1)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于________．
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数．
∴loga2a－logaa＝，解得a＝4.
答案：4
10．计算下列各式．
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
11．说明函数y＝log2|x＋1|的图象，可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．
解：作出函数y＝log2x的图象，再作其关于y轴对称的图形得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数
y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．
由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
12．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；
(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)＜f(1)．
解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b.
由已知得(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1，即a＝2.
又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4.∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意
??0＜x＜1.
1．(2012·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－3
解析：选D 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.
2．已知f(x)是周期为2的奇函数，当00，
b＝f＝f＝－f＝－lg>0，
c＝f＝f＝lg<0.
又因为lg>lg，
所以0<－lg<－lg.
所以c0且a≠1)，满足对任意的x1，x2，当x10，求实数a的取值范围．
解：因为对任意的x1，x2，当x10，
所以函数f(x)在上单调递减．
令t＝x2－ax＋3，则二次函数t＝x2－ax＋3的对称轴为x＝，其在上单调递减．
由复合函数的单调性，可知y＝logax为单调增函数，故a>1.
由对数函数的定义域，可知在区间上，t>0恒成立，即x2－ax＋3>0在区间上恒成立．
而函数t＝x2－ax＋3在区间上的最小值为2－a×＋3＝3－.故3－>0，解得|a|<2.
综上可得a的取值范围是(1,2)．
1．设函数f(x)＝若f(m)0时，f(m)1；
当m<0时，f(m)1，故f(a)＝|lg a|＝－lg a，f(b)＝|lg b|＝lg b．由f(a)＝f(b)，得－lg a＝log b，即lg(ab)＝0，故ab＝1.则2a＋b≥2＝2，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号．
3．化简：log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
解：原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
4．(2012·上海徐汇二模)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．
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