第六节
二次函数与幂函数
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1  图象 




 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}  值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}  奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇  单调性 增 (－∞，0]减(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减  公共点 (1,1)   二、二次函数 1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 a>0 a<0  图象 

 图象 特点 ①对称轴：x＝－；　②顶点：  性质 定义域 x∈R   值域 y∈＋∞ y∈   奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数   单调性 x∈－∞，时递减，x∈－，＋∞时递增 x∈时递增，x∈时递减   [小题能否全取] 1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝x2－1　　　　　　　 B．f(x)＝5x2 C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2 解析：选D　形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数． 2．(教材习题改编)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 解析：选A　在函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3. 3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知即得a>. 4．(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝α，得α＝－2.故y＝x－2. 答案：y＝x－2 5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________． 解析：由题意知得 则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5. 答案：5 　　1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是 [注意]　当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

幂函数的图象与性质  
典题导入 [例1]　已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________. [自主解答]　∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m＝－1. [答案]　－1
由题悟法 1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
以题试法 1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(　　)
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 解析：选B　由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B. (2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是(　　) A．2a>a>(0.2)a　　　　 B．(0.2)a>a>2a C.a>(0.2)a>2a D．2a>(0.2)a>a 解析：选B　若a<0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>a>0.所以(0.2)a>a>2a.
求二次函数的解析式  
典题导入 [例2]　已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f(x)解析式； (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式． [自主解答]　(1)由于f(x)有两个零点0和－2， 所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于f(x)有最小值－1， 所以必有解得a＝1. 因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x. (2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x，－y)必在f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x， y＝－x2＋2x， 故g(x)＝－x2＋2x.
由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．
以题试法 2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分． (1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域．
解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2， 则y＝－2(x－3)2＋4， 即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14. 当x<－2时，即－x>2. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14， 即f(x)＝－2x2－12x－14. 所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为 f(x)＝－2x2－12x－14. (2)函数f(x)的图象如图，
(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．
二次函数的图象与性质  
典题导入 [例3]　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数． [自主解答]　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]． 所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， 故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间． 解：当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3， 则f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]， 且f(x)＝ 故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．

由题悟法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．
以题试法 3．(2012·泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________． 解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 当a>1时，ymax＝a； 当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1； 当a＜0时，ymax＝1－a. 根据已知条件或或 解得a＝2或a＝－1. 答案：2或－1
二次函数的综合问题  
典题导入 [例4]　(2012·衡水月考)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在x∈R使f(x)0?b<0或b>4. 故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F(x)＝x2－mx＋1－m2， Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4. ①当Δ≤0，即－≤m≤时， 则必需?－≤m≤0. ②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x12x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， 所以解得 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

1．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： x 1   f(x) 1   则不等式f(|x|)≤2的解集是(　　) A．{x|0b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
解析：选D　∵a>b>c，且a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0.∴图象开口向上与y轴交于负半轴． 3．已知f(x)＝x，若0f>f(2)＝f(0)＝c. 5．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 解析：选D　二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]， 所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1. 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 6．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D. 解析：选B　设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m＋4<0，解得m>. 7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法： ①两个函数都是幂函数； ②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y＝x对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥ 8．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)0，即p2－2p－3<0. ∴－10时，f(x)在[2,3]上为增函数， 故?? 当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数， 故?? (2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调， ∴≤2或≥4.∴m≤2或m≥6.
1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　) A. B. C. D．1 解析：选D　当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2， ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1. 2．(2012·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________． 解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点． 答案： 3．(2013·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． 解：(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－＝－1， 解得a＝1，b＝2.则f(x)＝(x＋1)2. 则F(x)＝ 故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立． 又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2， 故－2≤b≤0.
1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233； (3)4.1，3.8－，(－1.4)；(4)0.20.5,0.40.3. 解：(1)函数y＝3x是增函数，故30.8>30.7. (2)y＝x3是增函数，故0.213<0.233. (3)4.1>1,0<3.8－<1，而(－1.4)<0，故4.1>3.8－>(－1.4). (4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y＝0.2x是减函数，故0.20.5<0.20.3；y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3. 2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
解析：选D　当－<0时，ab>0，从而c>0，可排除A，C； 当－>0时，ab<0，从而c<0，可排除B，选D. 3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1. (1)试讨论函数f(x)的单调性； (2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式； (3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥. 解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a>0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向上，对称轴为x＝， 故函数f(x)在上为减函数，在上为增函数； 当a<0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向下，对称轴为x＝， 故函数f(x)在上为增函数，在上为减函数． (2)∵f(x)＝a2＋1－， 由≤a≤1得1≤≤3，∴N(a)＝f＝1－. 当1≤<2，即0， ∴函数g(a)在上为增函数， ∴当a＝时，g(a)取最小值，g(a)min＝g＝. 故g(a)≥.

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