数列 【专题要点】数列的概念及表示方法，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前项和公式、性质、判定，等差数列和等比数列的比较，等差数列和等比数列与其它知识的综合应用高考资源网 【考纲要求】 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。高考资源网 2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题，掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式高考资源网 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差（或等比）关系，能够构造等差、等比数列的模型，并能用有关知识解决相应的实际问题 【知识纵横】  【教法指引】高考资源网 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大高考资源网 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。在解决综合题和探索性问题时，教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，从而提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 【典例精析】高考资源网 例1.（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列高考资源网 解: (1)由,得 ∴ 又,即,得. (2)当n>1时, 高考资源网 得所以是首项,公比为的等比数列 例2.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　　　；＿＿＿＿ 解：第1个图个数：1高考资源网 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1高考资源网 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=， 所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６  点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想 例3．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．高考资源网  (2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ， 证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以高考资源网 高考资源网  Kpp是常数(k=2，3，…，n)．  (2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．高考资源网  高考资源网 例4．已知数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和高考资源网 分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．高考资源网 解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即 a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) 高考资源网 a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ② 由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．    当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．高考资源网 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．高考资源网 例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列高考资源网 ⑴求点的坐标； ⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：高考资源网 ⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式 解：（1）高考资源网  （2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：高考资源网高考资源网 把代入上式，得，的方程为：。 ，  =高考资源网 （3），  T中最大数.高考资源网 设公差为，则，由此得  说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差 例6.(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和. （1）求数列{an}的通项公式；高考资源网 （2）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意 n∈N+，都有bn+1>bn. 高考资源网 解：（1）在已知式中，当n=1时， ∵a1>0 ∴a1=1 当n≥2时， ①  ②高考资源网 ①－②得，高考资源网 ∵an>0 ∴==2Sn－an高考资源网 ∵a1=1适合上式 当n≥2时， =2Sn－1－an－1 ④高考资源网 ③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1 ∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1 ∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n高考资源网 （2）∵高考资源网  ∴ ⑤ 当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为 ⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1高考资源网 当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为 ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，高考资源网 ∴分 ∴高考资源网 ∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn高考资源网 例7.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前n项和为，点在曲线上且. （1）求数列的通项公式；高考资源网 （2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列；高考资源网 （3）求证：.高考资源网 解：(1) 高考资源网 ∴高考资源网 ∴高考资源网 ∴数列是等差数列，首项公差d=4高考资源网 ∴ ∴ ∵ ∴ (2)由高考资源网 得 ∴ ∴高考资源网 ∴高考资源网 若为等差数列，则 ∴ (3) ∴高考资源网  ∴   例8.(2008福建理) 已知函数.高考资源网 （1）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　（2）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (1)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 高考资源网 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以高考资源网 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. 高考资源网 (2)解:, 高考资源网 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)  f′(x) + 0 - 0 +  f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   注意到,从而高考资源网 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 高考资源网 点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 高考资源网 例9、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为； （1）求数列的通项公式；高考资源网 （2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论; （3）求． 高考资源网 高考资源网 解：（1）由框图，知数列 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想高考资源网 证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴ ∴ 高考资源网 ∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列 ∴+1=3·3n－1=3n ∴=3n－1（） （3）zn=高考资源网 =1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 高考资源网 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② 高考资源网 ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1高考资源网 =2×= ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2高考资源网 ∴. 点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视 例10.（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 分析：　第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解． 解：　(1)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n， 由此得Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)．高考资源网 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n(1，n∈N*, ① (2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2 n(1，n∈N*， 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn(1＝3n＋(a－3)2 n(1－3n(1－(a－3)2 n(2＝2×3n(1 ＋(a－3)2 n(2，高考资源网 an+1－an＝4×3 n(1＋(a－3)2 n(2＝2 n(2·[12·()n(2＋a－3]， 当n≥2时，an+1≥an，即2 n(2·[12·()n(2＋a－3]≥0，12·()n(2＋a－3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]． 点评：一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 高考资源网
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