数系的扩充与复数的引入
【专题要点】
1 理解复数的概念:即复数是由实数与虚数构成的,
2 理解复数相等的条件是: 若a+bi=c+di当且仅当a=c,b=d.
3. 掌握复数的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
【考纲要求】
⑴加强数学思想方法的训练：转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想；
⑵突破关键知识：①理解复数、实数、虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示；②熟练应用复数相等的条件；③掌握复数的运算法则，及复数加减法的几何意义及应用；④复数问题实数化方法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【知识纵横】
【教法指引】
复数部分是高考必考内容之一，主要考查复数的有关概念和运算．复数在高考中题型多为选择题和填空题，均为容易题.估计2010年高考对这部分的考查不会有大的改变.复数部分仍然会重点考查有关概念的复数基本运算，问题难度相当，均为容易题.高考资源网
【典例精析】
一、复数基本概念：
复数的概念是解题的重要手段，应在理解、掌握复数概念上下功夫，如实数、虚数、纯虚数、复数相等等概念要切实掌握好．
例1.（2009江西卷）若复数为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．或
解析：由复数为纯虚数，得，解得，故选A．
点评：本题主要考查了复数的基本概念，掌握基本复数的概念是解决复数问题的关键．
２.若复数()是纯虚数，则= .
〖解析〗由,所以=2.
〖答案〗.2
二、复数的基本运算
复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力．高考资源网
例2.（2009重庆卷）已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意知，则，所以选A．
点评：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础. 高考资源网
配套练习：
１．已知zi+z=2，则复数z=（ ）
A．1－i B．1+i C．2i D．－2i
〖解析〗由zi+z=2得Z=,所以选A项. 高考资源网
〖答案〗A
２．已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于( )
A．1 B．-1 C．i D．-i
〖解析〗由=是纯虚数,得m=2,所以=.高考资源网
〖答案〗A
３.．若z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是 ▲ ．
〖解析〗＝，则由条件可得3a－8=0,得a=.高考资源网
〖答案〗
４. 已知，且（为虚数单位），则z=_______;=_______.
〖解析〗设Z=a+bi,则,所以由条件得: ,所以,即z=2i, =.
〖答案〗2i，．高考资源网
三 复数相等
例3、已知其中是实数，是虚数单位，则 ( )
A．1+2i B． 1-2i C．2+i D．2-
〖解析〗 由已知，得，则，解得，故选C．
〖点评〗在两个复数相等的条件中，注意前提条件是、、、，即当、、特别地： ．
【警示】两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小
四 开方运算
例4:的平方根是 ．高考资源网
〖解析〗设，其中，所以
解得或，故的平方根是．
〖练习〗的平方根是 ．
五、复数的几何表示
复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．
例5.（2009潍坊调研）复数，，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A 提示：本题考查了复数的几何意义，，
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.
点评：理解掌握复数与复平面内点之间的一一对应关系，研究复数对应复平面内点的位置，只要看复数的实部与虚部的正与负．
六、复数中的方程思想
例6、设复数满足，则（ ）高考资源网
A B C D
〖解析〗 ，选C．
〖点评〗视为未知数，解关于的方程——是好招．
〖练习〗 ① (2004辽宁—理4)设复数z满足,则︱1+z︱= ( )
A． 0 B．1 C． D． 2
② （2006上海—理5）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ 高考资源网
七、复数方程
例7：(2008上海—文7) 若是实系数方程的一个虚根，且，则 ．高考资源网
〖解析〗 设（），则方程的另一个根为,且
，由韦达定理，得：
所以
〖点评〗本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识．
1．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（ ）
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ 高考资源网
2.设关于的方程有实根，求锐角及这个实根．
〖解析〗设实数根为，则 ，即
∵，，
∴
∴且，
又
∴
〖点评〗 这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．
八．复数的待定系数法
例8.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于 （ ）
A． 2i B．i C．-i D．-2i
〖解析〗 设（）,代入
由于其为实数，b= -2, 故选D. .
〖练习〗（2004广东14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = －2i .
九、复数中的创新试题
对于复数的创新试题的考查题型主要为新定义与新运算，或与函数等其他知识点相交汇型的试题.主要考查学生收集信息、加工信息的能力.
例9.(1)定义:复数是的转置复数,记为
;复数是的共轭复数,记为.给出下列三个命题:①;②;③;其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析:,①正确;
,②正确;=
,=
,∴,③错,故选C.
点评:本题考查了学生收集信息、加工信息和运用信息的能力.将新信息与已学信息联系在一起运用,是解这类题的关键.
（2)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）
A． B． C． D． .
【解析】因为为实数，所以，故，则可以取1、26，共6种可能，所以.
〖练习〗 ① 复数z+i在映射f下的象为·i,则-1+2i的原象为( )
A．2 B．2-i C．-2+i D．-1+3i
② 若函数的反函数为，则（ ）
A． B． C． D．
③ 若，化简：
④ 定义运算，若复数满足，则．
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