立体几何初步 【学法导航】高考资源网 稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意 （1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查高考资源网 （2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系高考资源网 （3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2010年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题高考资源网 【典例精析】高考资源网 空间几何体及三视图 例1．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm3．高考资源网 图1（俯视图） 图2（主视图） 例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为 ▲ ． 例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲ 个．5 例5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。高考资源网 例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为  例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 ． 2.平行与垂直 例8.已知：正方体，，E为棱的中点． ⑴求证：； ⑵求证：平面；⑶求三棱锥的体积  证明：连结，则//， ∵是正方形，∴． ∵面，∴． 又，∴面． ∵面，∴， ∴． ⑵证明：作的中点F，连结． ∵是的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，∴ ． ∵是的中点，∴， 又，∴． ∴四边形是平行四边形，//，高考资源网 ∵，，高考资源网 ∴平面面． 又平面，∴面高考资源网 例9. 多面体中，，，，。 （1）求证：； （2）求证： 证明：（1）∵  ∴ 高考资源网 （2）令中点为，中点为，连结、 ∵是的中位线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵为正 ∴ ∴高考资源网 又∵， ∴四边形为平行四边形 高考资源网 ∴ ∴ 例10．如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证： ⑴ ∥平面；高考资源网 ⑵ 平面平面. 解：证：设 ,连 ⑴ ∵为菱形， ∴ 为中点，又为中点。 ∴∥ 又 , ∴∥高考资源网 ⑵ ∵为菱形， ∴,高考资源网 又∵，  ∴ 又  ∴ 又 ∴ 高考资源网 3.距离与角 例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求： ⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小； ⑵．直线AD与直线BC所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C的余弦值． ⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H， 则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45° ⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影， ∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90° ⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2 故二面角A—BD—C的余弦值的大小为 【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）高考资源网 特别地 时，，；时， ，或。 ⑴用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角高考资源网 【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影． ⑴.求PB与平面BCD所成角； ⑵.求BP与平面PCD所成的角. 【解法】 ⑴. PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影， ∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC， 由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a， 则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，高考资源网 cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°． ⑵.过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD， ∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP与平面PCD所成角为30°高考资源网 例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小 解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可高考资源网 【解法一】过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角高考资源网 在四棱锥P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC ∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE= 同理在Rt△PBC中，， 在Rt△EFC中,FC=, 在Rt△DFC中,DF=, 在△DEF中由余弦定理cos= 所求二面角B-PC-D的余弦值为高考资源网 解析2.垂面法　　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解 【解法二】略高考资源网 解析3.利用三垂线求解　　把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。 易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可高考资源网 解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC 于E， BF ⊥PC于F，连接EF即可。 利用平面知识求BF、EF、DE的长度， 再利用空间余弦定理求出( 即可 【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有： （1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１ （2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２ （3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３ 用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图(1).②利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。③作棱的垂面，图(3). 4.空间几何中的向量方法 例13. 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求BN的长；高考资源网 （2）求异面直线BA与1CB1的余弦值； （3）求证：A1B⊥C1M. 【解法】：∵AC⊥BC,CC1⊥面ABC， ∴可以建立如图所示的坐标系 （1）依题意得B（0， 1，0），N（1，0，1）， ∴｜｜==.高考资源网 （2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）， ∴=(1,-1,2)，=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=. ∴cos〈，〉==.高考资源网 所以，异面直线BA与1CB1的余弦值为 （3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），高考资源网 =(-1,1,-2)，=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M. 【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围(0,],而向量角的范围为[0,π] 高考资源网 【变式与拓展】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.高考资源网 （1）求证：SC⊥BC； （2）求SC与AB所成角的余弦值. 【解法一】：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0）， =（2，，－2），=（－2，，0）.  （1）∵·=0，∴SC⊥BC. （2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，||| |=4，∴cosα=，即为所求. 高考资源网 【解法二】：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC. （2）如下图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求. 例14.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD， ，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD；高考资源网 （3）求二面角的大小． 【解法】：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设 ⑴证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG. 高考资源网 依题意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 . 这表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 ⑵证明：依题意得。又 故 高考资源网 , 由已知，且所以平面EFD. (3)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得  点F的坐标为 且 ,即， 故是二面角的平面角. ∵且高考资源网  , 所以，二面角C—PC—D的大小为高考资源网 【点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。 【变式与拓展】如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD， E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥CD； （3）若(PDA＝45(，求EF与平面ABCD所成的角． 证明：如图，建立空间直角坐标系A－xyz， 设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)， B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)， P(0, 0, 2c)∵ E为AB的中点，F为PC的中点 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c) (1)∵＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴＝(＋) ∴与、共面 又∵ E ( 平面PAD ∴ EF∥平面PAD． (2)∵ ＝(-2a, 0, 0 ) 高考资源网 ∴·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． (3)若(PDA＝45(，则有2b＝2c，即 b＝c，∴ ＝(0, b, b)， ＝(0, 0, 2b) ∴ cos (，(＝＝ ∴ (，(＝ 45(高考资源网 ∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为：90(－(，(＝ 45(． 例15.如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且 （Ⅰ）求证：平面；高考资源网 （Ⅱ）求点到平面的距离. 解：(Ⅰ)以为原点，以、、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则  于是 且 平面高考资源网 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，为平面的一个法向量，高考资源网 向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是  故点到平面的距离为高考资源网 例16.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点． （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC， 并求出N点到AB和AP的距离． 解：方法一、（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB， ∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中，AO=1，OE= 高考资源网 ∴ 即AC与PB所成角的余弦值为.高考资源网 （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则. 连PF，则在Rt△ADF中 设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，高考资源网 ∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC. ∴N点到AB的距离，N点到AP的距离 方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，，1）， 从而 设的夹角为θ，则  ∴AC与PB所成角的余弦值为.高考资源网 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE⊥面PAC可得，  ∴ 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 【专题综合】高考资源网 一、线面位置关系判断:根据公理定理判断线与线、线与面、面与面的位置关系。 1．（安徽3）．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ） A． B． C． D． 二、求求空间角与距离：在各图形中求异面直线角、线面角、二面角以各种距离的大小（或三角函数值），注意使用一些特殊的结论进行简便的计算。 2．(福建6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）高考资源网 A. B. C. D. 三、求立体几何图形的表面积和体积：（1）球的体积与表面积；（2）棱柱（棱锥）的表面积与体积，注意用分割法，或注意等积变形，寻找不同的底面与高。 3．（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .9高考资源网 四、与函数等知识相结合：将立体几何问题函数化，用函数来分析解决立体几何中的求值（最值）问题。 4．（北京8）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ B ）高考资源网  五、比较几何体中量的大小：比较立体几何图形中角、或边的大小 5．(陕西10) 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D ）高考资源网 A． B． C． D． 【专题突破】高考资源网 一、选择题 1.设有两条直线a、b和两个平面、，则下列命题中错误的是 （ ） A．若，且，则或 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 2.如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ( ) A 3 B 6 C  D  3．在下列命题中：高考资源网 ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面； ④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示． 其中正确命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．  5、如图9，正四棱锥P—ABCD的侧面PAB为正三角形，E为PC中点，则异面直线BE和PA所成角的余弦值为 （ ）． A． B． C． D． 6．已知二面角α－AB－β为，P是平面α内的一点，P到β的距离为1．则P在β内的射影到AB的距离为 （ ）．高考资源网 A． B． 　　C． 　　D． 填空题高考资源网 ⒎体积为的等边圆柱内有一内切球, 球内接正方体的棱长为 . 8.如图，在正三棱柱中，．若二面角的 大小为，则点到平面的距离为 . 9.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .  10.已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是 。 三、解答题高考资源网 11．已知：正方形与正方形不共面，、分别在和上，=.求证：平面. 变式：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5,点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1； 12.如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB． (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值． 13.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. （Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面 角的余弦值. 高考资源网 参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B高考资源网 二、填空题 7. 1 8.  9.  10. 三、解答题 11. 证明：（方法一）高考资源网 连结AM并延长交BC于G 则== 所以……………………6’ 又MN平面 EG平面 故平面………………12’ （方法二）过N做直线NH//EB交直线AB于H 连结MH 因为== 所以 HM//AD//BC………………………6’ 于是 平面MHN//平面CBE MN平面MHN 所以 平面…………………12’ 变式：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， ∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； 12.解法一：高考资源网 (I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB． ∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． 又，∴AB平面PCB． (II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF． 则为异面直线PA与BC所成的角． 由（Ⅰ）可得AB⊥BC， ∴CFAF．高考资源网 由三垂线定理，得PFAF． 则AF=CF=，PF=， 在中， tan∠PAF==， ∴异面直线PA与BC所成的角为． （III）取AP的中点E，连结CE、DE．高考资源网 ∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=． ∵CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得DE PA． ∴为二面角C-PA-B的平面角． 由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．高考资源网 　　在中，PB=，． 在中， cos=．高考资源网 ∴二面角C-PA-B大小的余弦值为高考资源网 解法二：（I）同解法一． (II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC，可求得BC=． 以B为原点，如图建立坐标系． 则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）． ，． 则+0+0=2．== ． ∴异面直线AP与BC所成的角为．高考资源网 （III）设平面PAB的法向量为= (x，y，z)．，， 则 即 解得 令= -1, 得 = (，0，-1)．高考资源网 设平面PAC的法向量为=()．，， 则 即 解得 令=1, 得 = (1，1，0)．高考资源网 =．高考资源网 ∴二面角C-PA-B大小的余弦值为．高考资源网 13.解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的 正方形，高为CC1=6，故所求体积是  （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示. 证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的 正方形，于是  故所拼图形成立. （Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H， 连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与 平面ABC所成二面角或其补角的平面角. 在Rt△ABG中，，则 ，， ，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，高考资源网 于是，解得. 高考资源网 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6）， 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
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