构造基向量证立体几何问题
湖北 刘宜兵
向量是中学知识的一个重要内容，它为我们处理立体几何问题提供了许多新的证法．本文以立体几何中最简单的模型――四面体为例，说明向量在立体几何证明题中的应用．
例1 设四面体中两对对边和，它们的中点分别为．已知（如图1）．求证：第三边对边和相等，即．
证明：令，，，
则，．
，，即．
．
又，，
．
如图2所示，若四面体中，，，
求证：，且有．
证明：令，，．
则，，．
由，得，即．
．
由，得，即，
．
，即．
．
，即．
由上面我们有．
，
同理
，
，即．
评注：立体几何命题的向量证法，首先是将已给的线段向量化，适当选取三个基本向量，
并将其它向量用基本向量线性表示，其次是根据几何条件列出向量等式，应用向量运算的定义和性质化简向量等式，从而使命题得证．
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