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g3.1064空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令=(a1,a2,a3),，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：)
②空间两点的距离公式：.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
二．基础训练：
1． 已知，则向量与的夹角是 （ ）
2．已知，则的最小值是 （ ）
3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.
4．设向量，若，
则 ， 。
5．已知向量与向量共线，且满足，，
则 ， 。
三．例题分析：
例1.设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.
例2．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。
例3．已知，为坐标原点，
（1）写出一个非零向量，使得平面；
（2）求线段中点及的重心的坐标；
（3）求的面积。
例4．如图，两个边长为1的正方形与相交于，分别是上的点，且，
（1）求证：平面；
（2）求长度的最小值。
四、作业同步练习g3.1064 空间向量的运用
1．设正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么它的体积为 （ ）
2．正方体中，是的中点，为底面正方形的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角为 （ ）
与点的位置有关
3．正三棱锥中，，侧棱两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为 （ ）
4．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是 ( )
5．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的 ( )
垂心 重心 外心 内心
6．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是 ( )
7．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为
8．三棱锥的高，且是底面的垂心，若，二面角为，为的重心，则的长为
9．如图，已知斜三棱柱的底面边长分别是，，侧棱，顶点与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．
10．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。
10、解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面与平面的交线，∵//平面
∴//，∴为的中点。
（2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，
由，得，∴
∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面
∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得
，∴
（3）过作，∵平面，∴，∴平面
即是到平面的距离，，∴
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