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g3.1071球
知识回顾:
球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：.
②球的体积公式：.
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.
附：①圆柱体积：（为半径，为高）
②圆锥体积：（为半径，为高）
③锥形体积：（为底面积，为高）
(3). ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，
得.
注：球内切于四面体：
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
基础训练:
1、（2002年北京高考题）64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ C ） （A） （B） （C） （D） 2、一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ C ） （A） （B） （C） （D） 3、（1998年全国高考题）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ B ） （A） （B） （C）2 （D） 4、长方体的过一个顶点的三条棱长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ D ） （A） （B） （C） （D） 5、在北纬圈上有甲、已两地，甲地位于东径，乙地位于西径，则地球（半径为R）表面上甲、乙两地的最短距离为（ D ） （A） （B） （C） （D）
三.例题讲解:
例1．已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.
例2．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于 (为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，是截面圆的直径,是圆周上一点，是球的直径，
(1) 求证：平面平面；
(2) 如果球半径是，分为两部分, 且，求与所成的角；
(3) 如果，求二面角的大小。
例4.球面上三点组成这个球的一个截面的内接三角形，，
且球心到该截面的距离为球的半径的一半，
(1) 求球的体积； (2) 求两点的球面距离。
例5、从北京（北纬400，东经1200）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬300，东径300）有两条航线供其选择：甲航天线从北京沿纬度弧向西飞到希拉首都雅典（北纬400，东径300），然后向南飞到目的地。乙航线：从北京向南飞到澳大利亚的珀斯（南纬300，东径1200），然后向西飞到目的地。间：哪一条航线较短？
四、作业 同步练习g3.1071 球
1、（2002年北京高考题）64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ ） （A） （B） （C） （D）
2、（1998年全国高考题）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ ） （A） （B） （C）2 （D）
3、球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ ）倍。 （A） （B）2 （C） （D）4
4、两球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两球的直径之差为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5、自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，球的半径为R，则 （ ） （A） （B）3R （C）2R （D）
6、A、B为球面上相异的两点，则通过A、B可作的大圆（ ） （A）只有一个 （B）一个或无数个 （C）一定是无数个 （D）不存在 7、在地球北纬300圈上有A、B两点，它们的经度差为1800，则A、B两点沿纬度圈的弧与A、B两点的球面距离分别为（R是地球的半径）（ ） （A） （B） （C） （D） 8、球面上有三个点，其中任意两点球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆周长为，那么这个球的半径为 。 9、设地球半径为R，在北纬300圈上有A、B两地，它们的经度相差1200，那么这两地的纬度圈上的弧长等于 。
10、（05天津卷）如图，在斜三棱柱中，
，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积。
11、如图，AB是球O的直径，C、D是球面上两点，且点D在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的平面为 。 （1）求证：平面ABC ； （2）设D为BC弧的中点，AD与平面 所成角为 ，过球的半径OD且垂直于截面BC弦于点E，求⊿OED与过OD的截面圆的面积之比。
12、已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.
参考答案
CBCDABA 8、 9、
10、本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.
（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.
连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是
∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点
因此，由三垂线定理，A1A⊥BC.
∵A1A//B1B，且EG//B1B， EG⊥BC 于是
∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即
∠AGE=120°
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，
所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.
而FP平面B 1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.
（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，
A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，
故所求球的半径，球的体积 .
11、解：（1）取BC的中点O1，连OO1，因为O1是以BC为直径的圆的圆心，则OO1⊥BC，D为圆周上的一点。
（2）因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM，可证得OH⊥面ABC即OH是O到截面ABC的距离。 （另：利用等体积法也可求得）
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