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g3.1082 抛物线
一、知识要点
1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.
2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：
相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2.
不同点:
方程
对称轴
开口方向
焦点位置
y2=2px
x轴
向右
x轴正半轴上
y2= -2px(p>0)
x轴
向左
x轴负半轴上
x2=2py(p>0)
y轴
向上
y轴正半轴上
x2= -2py(p>0)
y轴
向下
y轴负半轴上
二、基本训练
1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是 （ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为 （ ）
8 18 4
3．过点的抛物线的标准方程是 ．焦点在上的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，
当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ．
三、例题分析
例1．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．
例2．已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，
（1）求取值范围；
（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值
例3． 已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．
（1）求三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．
例4（05江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹
四、作业 同步练习 g3.1082 抛物线
1（05上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
2.（05江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
3方程表示的曲线不可能是 （ ）
直线 抛物线 圆 双曲线
4以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（ ）
相交 相切 相离 以上三种均有可能
5．抛物线的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 ．
6．过定点，作直线与曲线有且仅有１个公共点，则这样的直线共有 条；
7．设抛物线的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为，若，那么 。
8．抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为 。
9．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程。
10是抛物线上的两点，且，
（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线过定点；
（3）求弦中点的轨迹方程；
（4）求面积的最小值；
（5）在上的射影轨迹方程。
11.过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求（1）MN与x轴交点的坐标;(2)求MN中点的轨迹方程
12．（江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
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