集合与简易逻辑、函数（1）
一．网上课堂
（一）本讲主要内容
1．集合
集合的概念→集合与集合间关系→集合间的运算
集合的表示方法
相 包 交 并 补
常用数集 等 含
2．简易逻辑
3．函数
（二）学习指导
1．集合的初步知识与简易逻辑知识什么联系？
二者有密切的联系，联系有关简易逻辑知识，可深入学习交集、并集、补集的概念：反过来，又可以加深对有关简易逻辑知识的理解。例如，从命题角度来理解并集可以看作是用“或”字连结的复合命题，交集可以看作是用“且”字连结的复合命题，补集可以看作是命题的否定。同样我们可用集合是否具有真子集关系来判断命题间的充要条件；可依据摩根定律即：
来完成对复合命题的否定。
2．你会求函数的定义域吗？你能自觉地求函数的定义域吗？
研究函数时，定义域是第一个要考虑的因素。因此，在研究函数的值域、函数的单调性、奇偶性、反函数、用换元法解题，以及解不等式等问题时，都要考虑函数的定义域。
3．要自觉地运用数列结合的思想方法解题。
通过函数的图象讨论函数的性质，利用函数的性质描绘函数的图象，这里体现了数形结合的思想。在函数这一章的复习中，应熟练掌握常用函数的图象以及一些图像变换的方法从而利用函数的图象来帮助我们解决问题，特别是在解一些选择题时，利用数形结合的思想解题可大大提高解题的效率。
4．学会运用函数的思想解题。
在数学的学习中，我们应该学会用变量和函数来思考问题。
举例，a为何值时，方程有解？
方法（一）：将此方程视为以sinx为变量的一元二次方程，即
，而此方程有解，利用根的分布可求出a的值，但此方法较繁。
方法（二）：将a视为sinx的函数，则
，可设≤≤1，
∴≤≤1）
从而原方程有解的问题可转化为求的值域即可。显然方法（二）较方法（一）简单，而方法（二）就是利用函数的观点来解题的。
（三）例题精讲
例1：（99年全国文、理）
如图（1），I是全集，M，P，S是I的
3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
分析及解：先找出显然（A），（B）均不成立，再分析出即可求解。答案应为（C）。通过此题的求解，我们看到集合的运算可利用图形帮助求解。
例2．设有如下三个命题：
甲：相交两直线都在平面内，并且都不在平面内；
乙：之中至少有一条与相交；
丙：与相交；
当甲成立时，
（A）乙是丙的充分而不必要条件
（B）乙是丙的必要而不充分条件
（C）乙是丙的充分且必要条件
（D）乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件
分析与解：首先构造两个命题，然后判断是否为真命题。
命题一是“乙丙”，即：
“已知直线相交，且都在平面内，而和都不在平面内，如果中至少有一条与相交，则与相交。”
由已知条件，显然、有公共点，只要再考查与是否重合即可。
命题二是“丙乙”，即：
“已知直线相交，且都在平面内，而都不在平面内，如果与相交，则和之中至少有一条与相交。”
由于和都不在内，因此只有相交与平行两种可能，如果∥且∥，则和都平行于与的交线，从而∥这与已知矛盾，故和中至少有一条与相交。
由于两个命题都正确，所以选（C）。
例3．（92全国理）
函数的反函数。
（A）是奇函数，它在上是减函数；
（B）是偶函数，它在上是减函数；
（C）是奇函数，它在上是增函数；
（D）是偶函数，它在上是增函数；
分析及解：可求出原函数的反函数再判断，但作为选择题可充分利用选择支所提供的信息以及函数的有关性质解题。
∵偶函数不可能有反函数，
∴可将（B），（C）排除掉，
又∵（A）和（C）的区别在于函数的单调性，
因为互为反函数的单调性一致，故只需判断原函数的单调性即可。
∵↑，↓，而↑，
∴为增函数，
∴其反函数也为增函数，∴选（C）。
要学会利用函数的性质解题，解本题时，“偶函数没有反函数”以及“一个函数和它的反函数有相同的单调性”这两个命题起了很大的作用。
例4．（97全国文、理）
定义在区间的奇函数为增函数，偶函数在区间上的图象与的图象重合，设给出下列不等式：
①
②
③
④
其中成立的是（ ）
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
分析与解：利用函数的奇偶性和已知条件与在上的图象重合这些条件对题目给出的4个不等式进行变形，变形的目标是把自变量全变成，从而可在区间上讨论，再利用此时，把函数全变成，从而利于判断。
即已知的4个不等式可化为： ①
②
③
④
又由于对于奇函数，由和，又由是R上增函数，所以当时，由此可判断出①，③正确，∴选（C）。
此解法体现了转化的思想的应用。对于此题我们还可以利用数列结合的方法求解。
如图（2）（、的图
象可参考可知函数的图象）
利用图象可帮助我们分析出结论。
二．网上能力训练题：
能力训练部分
A．基础性训练题
设集合A和B都是坐标平面上的点集映射
把集合A中的元素映射成集合B中的元素，则在映射下，象（2，1）的原象是（ ）
（A）(3,1) （B）( （C）( （D）(1,3)
（2）集合则（ ）
（A）M=N （B） （C） （D）
（3）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深的函数关系的图象如右图（3）所示，那么水瓶的形状是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4）将的图象（ ）
（A）先向左平行移动1个单位
（B）先向右平行移动1个单位
（C）先向上平行移动1个单位
（D）先向下平行移动1个单位
再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象。
（5）设函数≤≤0）， 则函数的图象是（ ）
（6）设直线在平面M内，则平面M平行于平面N是直线平行于平面N的（ ）
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）非充分条件，也非必要条件
（7）已知≤≤9），求函数的最大值和最小值，并求出相应的的值。
（8）讨论函数的单调性。
（9）设≥1），求函数的反函数和反函数的定义域。
（10）设集合≤≤2}，
，求实数的取值范围。
B.提高性训练题
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么
的值是 。
（2）设则 。
（3）设函数的反函数为又函数与函数的图象关于直线对称，那么的值= 。
（4）函数
则的值域是 。
（5）若正数满足则的取值范围是 。
（6）设函数的反函数为函数的反函数为，已知那么中一定能求出具体数值的是 。
（7）已知是定义在R上的增函数，设
（Ⅰ）证明是R上的增函数；
（Ⅱ）证明函数的图象关于点为中心对称；
（8）已知其中并且当且仅当点在的图上时，点在的图像上。
（Ⅰ）求的函数解析式；
（Ⅱ）当在什么范围时，≥0？
（9）已知集合函数
（Ⅰ）若对于任意都有成立，试求时，的值域；
（Ⅱ）当，时，证明≤；
（10）已知函数为奇函数，
（Ⅰ）求的值，并写出的解析式；
（Ⅱ）解关于的不等式
C．研究性习题：
已知函数的图象过点，并且，（其中是负整数），设，
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）是否存在正实数P，使在上是增函数，且在上是减函数？若存在，求出P；若不存在，试说明理由。
2.能力训练题点拨与解答：
A.
(1)B. 由 可得
(2)C．利用周期性，可看出集合M为角的终边落在第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线和Ⅱ、Ⅳ象限角的平分线上所有角的集合，而集合N应为包含上述角以及所有轴限角的集合。
（3）B．
对于C，当匀速增大时，V的增大时快时慢，显然不合题意；对于D，当匀速增大时，V也匀速增大，对应图象是直线型，也不合题意；当匀速增大时，在A中V的增大速度比D大，对应图象应上凸；在B中，V的增大速度比D小，对应图象应下凸，符合题意，故选B。
另此题还可利用特殊值法求解，令，由图（3）中可知故可选B。
（4）（D）
由可得，即，
∴将向下平移1个单位，可得
（5）（B）
可分析原函数的图象：≤为个圆，
如图（4），再根据互为反函数的图象关系，即可选B。
图（4）
又解，可根据原函数的定义域，即反函数的值域为，因而可排除了（A）、（C），然后取特殊值，取反函数中，即原函数，从而得故可排除了（D）。
（6）（A）
当M∥N时，由则∥N，反之∥N，不一定有M∥N。
（7）
其定义域 1≤≤9 1≤≤3
1≤≤9
设则0≤≤1，
∴
∴当时，此时
当时，此时
(8)可利用函数单调性的定义来判断，也可利用导数来判断。
由令，
即或
又∵
∴当时，，当时，
∴当时，为减函数，
当时，为增函数。
（9）设当时，为增函数，∴1≤
∴当时，的值域为，当时，的值域为
∵
∴
∴
∴
∴
∴
的定义域为：当时，，当时，
（10）由题设知方程组 有实数解方程0有实数根，
设
则由
Δ≥0
0≤≤2 或
≥0
≤≤-1 或
∴≤-1
B．提高性训练题:
（1）2
当时，，∴
∴
∴
（2）
∵≤
（3）
设其反函数
∴则
（4）
由图象可得，如图（5），
（5）
≥
设∴≥0，∴≤-1或≥3，
∵
∴≥3，即≥3，∴≥9。
（6）
由即
（7）：（Ⅰ）可用函数单调性定义来证明，也可；
∵
∵是R上的增函数，
∴，
故
∴
∴为R上的增函数；
（Ⅱ）点关于点为中心对称的点为，证明关于点为中心对称，只须证明对任意都有
任取，则
∴关于点为中心对称。
（8）（Ⅰ）由点在的图像上，
令则
∴即
由在的图像上，即在的图像上，
∴
（Ⅱ）
由≥0，即≥0 ①
当时，不等式①等价于不等式组：
≥
≤
当时，不等式①等价于不等式组：
≤
≥
故当时，≤时，≥0；
当时，≥时，≥0。
（9）（Ⅰ）∵，都有成立；
∴的图象关于直线对称，
于是即
∴
∴当，即时，是减函数，
∴=，
∴时，的值域为
（Ⅱ）∵，
∴≤1，≤
∴≥0，
于是 ≤+
≤=1-+
≤
仅当时，等号成立。
（10）（Ⅰ）由及得定义域为，
∵为奇函数，∴
可得
∵
∴
∴ ∴ ∴
（Ⅱ）求得
由得
①
当时，由①得
由得
∴当时，不等式的解为，
当≤-1时，不等式无解，
当时，由①得
因，∴当时，不等式的解集为R；
当时，不等式①恒成立。
综上所述，
当≤-1时，不等式无解；
当时，不等式解集为
当≥1时，不等式解集为R。
C.(Ⅰ) ∵的图象过点，
∴ ∴
∵∴≥0，即≤0，
解得 ≤≤
∵是负整数，∴
于是
∴
（Ⅱ）∵
∵
假设存在正实数，使在上为增函数，且在上为减函数。
令
令≥0，则≥0，
∵，
∴≤0，
∴≥
∵
∴≥
若则≥9。
∴≤9?≥，
2°若∈(-3,0),则，
∴≥9?≤.
由1°和2°知?.
故存在正实数=，使在(]上是增函数，且在(f(2),0)上是减函数.
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
【点此下载】