数 列 （ 一 ）
网上课堂
本讲主要内容
2.学习指导
1.数列是一个特殊的函数。
从函数观点看数列，对于一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，…n}）的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点。
依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题。
(1)用函数的单调性的定义来理解数列的单调性。当an+1-an>0(n∈N*)时,数列{an}为递增数列；当an+1-an<0(n∈N*)时，数列{an}为递减数列。
(2)等差数列中∵an=a1+(n-1)d,∴an=dn+(a1-d).当d≠0时，an是n的一次函数，其图像是直线上的一些孤立的点。数列{an}为等差数列的充分必要条件是an=pn+q(其中p，q是常数)。由一次函数的单调性可知d>0时为增数列，d<0时为减数列。
(3)等差数列前n项和公式sn=na1+得当d≠0时，Sn是关于n的不含常数项的二次函数，其图像是经过原点的抛物线上的一些孤立的点。因此可以利用二次函数的性质解决Sn的问题。
(4)等比数列中an=a1qn-1=.当q1=1时,an可看作是q的指数函数，于是a1>0,q>1时，{an}为递增数列；当a1>0，00,d<0分类讨论时，可获得对等差数列的单调性的
认识。
对于等比数列求和公式的应用时，当公比q是字母时，要对公比q分为q≠1或q=1两种情况进行讨论。
4.解决有关等差、等比数列的问题时，应注重巧用性质解题，从而减少运算量，提高解题速度。
常用性质：若{an}为等差数列，则
(1)an=am+(n-m)d (m,n∈);
(2)等远项和相等式：a1+an=a2+an-1=…=ar+an-r+1=…一般地，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,q,∈);
(3)若{kn}或等差数列，则{}也成等差数列；
(4)a1+a2+…+an,an+1+an+2+…+a2n,a2n+1+a2n+2…+a3n,…也成等差数列。
(5)若n=2k-1(k∈),则S2k-1=
若{an}是等比数列，则
(1)an=am.qn-m (m,n∈)
(2)等远项积相等式：a1.an=a2.an-1=…=ar.an-r+1=…一般地,若m+n=p+q,则am.an=ap.aq(m,n,p,q∈)
(3)若{kn}成等比数列，则{}也成等比数列；
（4）a1+a2+…+an,an+1+an+2+…+a2n,a2n+1+a2n+2+…+a3n,…也成等比数列。
5、有哪些方法可以给出一个数列？
一般情况下，有下列三种方法可以给出一个数列。
（1）给出数列的通项公式。当给出数列的前几项时可以通过研究数列前几项的构成规律，从而发现数列的前几项与项数之间的函数关系，即可得到数列的通项公式。但应注意不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一。
（2）给出数列的前n项和，利用公式
an =
可求得数列的通项公式。
（3）给出数列的递推公式和初始条件，例如已知a1=1,a2=2,an=an-1+an-2,则a3=1+2=3,a4=2+3=5,a5=3+5=8等等。也可由递推公式求得通项公式。
6、怎样判断数列{an}为等差数列？等比数列？
判断一个{an}是等差数列的基本方法有二:一是利用定义，既判断an-an-1(n≥2)为常数；二是利用中项公式，即判断2an=an-1+an+1(n≥2)是否成立。
判断一个数列{an} 是否为等比数列的基本方法有二:一是利用定义，即判断是否为常数；二是利用等比中项公式，即=an-1.an+1。但要注意an≠0，因为当时，虽有成立，但{an}并不是等比数列，亦即“b2=ac”是a,b,c成等比数列的必要非充分条件。
7、将等差数列与等比数列对比着学习。等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,它们的通项公式的结构是相同的，它们的性质是相通的或相近的，将它们的同类性质进行比较，找出异同，有利于从整体上把握它们。因此同学们在学习中要将这两种数列对比学习，从而有利于理解和记忆这两种有关内容；有利于突出差异，以悟出与每种数列相关的题目的解法特点，为正确迅速地解题做好必要的准备。
3.例题精讲
例1．
(1)已知等差数列{an1}中a15=10,a45=90,则 a60=_____________________。
(2)设{an}是公差为-2的等差数列，如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99=_________________。
(3)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为______________________。
分析及解：
(1)观察下标15，45，60，使我们联想到15，30，45，60四个数成等差，则a15,a30,a45,a60,也成等差。固此利用等差中项的概念求解。
(2)数列a1, a4, a7, …,a97,仍构成一个等差数列，其公差为-6，而数列a3, a6, a9,…a99,也为等差数列，其公差也为-6。
(3)成等差
此题还可以利用特殊值法求解:
令m=1,则S1=30,S2=100.
可求得S3=210.
通过对上面3个题目的求解，使我们体会到“巧用性质，减少运算量”在等差数列的计算中非常重要。
例2．
（1）已知{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则的值为_____________。
（2）已知等比数列{an}的公比为q，若(n为奇数)，则____________。
（3）在等比数列{an}中，若a6-a4=216, a3-a1=8,Sn=40,求a1,q及n.
分析及解：
由等元积相等的性质可得
利用等比数列的性质：
（3）由题意知q≠1：
①
②
③
得：
代入②得a1=1.
将a1,q的值代入③：
“巧用性质，减少运算量”在等比数列的计算题中也是非常重要的，另通过解方程组求解也是有关数列问题的解决方法 。
例3．在等差数列{an}中a1=13,试求Sn的最大值。
分析及解：在等差数列中求Sn的最值，其思路之一是利用数列函数的单调性，即
若 a1>0,d<0时，数列a1>a2>…>an>…则满足不等式组成 的n值
对应的Sn最大；
若a1<0,d>0时，数列a10,∴d<0
∴a7>0,又由①式得 a8<0
即 a7>0成立，∴当n=7时Sn最大且
a8<0
S7=49.
在等差数列中求Sn的值其思路之二是利用二次函数求最值。
方法（二）：由a1=13,且S3=S11,可得d=-2,
∴Sn=13n+
=-n2+14n
=-(n-7)2+49
∴当n=7时，Sn最大且S7=49.
例4．
（Ⅰ）已知数列{an}，其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p;
(Ⅱ)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=a+bn,证明数列{cn}不是等比数列。
分析及解：
（Ⅰ）因为{cn+1-pcn}是等比数列，由等比中项定义可得:
（cn+1-pcn）2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1)
将cn=2n+3n代入上式，得
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2
=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)].[2n+3n-p(2n-1+3n-1)]
即 [（2-p）2n+(3-p)3n]2
=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][（2-p）2n-1+(3-p)3n-1]
以(2-p).(3-p)为变量整理得:
此题还可以由等比数列的定义得:
（Ⅱ）设、的公比分别为、,
为证不是等比数列只需证.
事实上，
=
由于不为零
因此，，故不是等比数列。
此题也可利用反证法求解.
假设
设，
由题设知
则
整理得
(二)网上能力训练题
1.能力训练部分
A．基础性训练题：
(1)等差数列的公差d=2，若它的前80项和是160，则…+的值为( )
(A)40 (B)60 (C)70 (D)80
(2)设数列、都是等差数列，且，则
数列的第37项为( )
(A)0 (B)100 (C)37 (D)-37
(3)互不相等的四个正数a、b、c、d成等比数列，则的大小关系是( )
(A) (B)
(C) (D)无法判定
(4)某厂在1986年底订计划，要使2000年的总产值在原基础上翻三番，则年总产值平均增产率为( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)数列中， 该数列前30项的各项绝对值的和为( ).
(A)495 (B)765
(C)3105 (D)1905
(6)等比数列中,己知对任意正整数n,+=( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)设等差数列与的前n项和分别为，且，求
(8)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
(9)数列是等比数列，项数为偶数，各项均正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，问数列的前多少项和最大？
(10)求等差数列5，8，11，…398与等差数列4，9，14，…399中所有公共项的项数。
B．提高性训练题
(1)在ΔABC中，若三内角A、B、C成等差数列，且成等差数列，则ΔABC的形状是 。
(2)己知为等差数列，且
(3)己知数列的前n项和则该数列所有负项之和为
(4)设是由正数组成的等比数列，公比，那么
。
(5)设是正数组成的数列，其前n项和为，并且对所有正整数n，与1的等差中项等于与1的等比中项，则的前三项是 .
(6)己知等差数列
则
(7)己知数列的首项，递推公式为，求此数列的通项公式和前n项和。
(8)设等差数列的前n项和为，己知
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出中哪一个值最大，并说明理由。
(9)设是等差数列的前n项和，己知的等比中项为
的等差中项为1，求等差数列的通项。
(10)数列的首项，前n项和与之间满足。
求证：数列是等差数列；
求数列的通项公式及.
C．研究性习题
己知在一容器内装有浓度为r%的溶
液1Kg，注入浓度为p%的溶液，搅匀后，再倒出混合液第2次再注入浓度为10%的溶液搅匀后又倒出混合液如此依次反复进行下去。
（1）写出第一次混合后溶液的浓度
（2）设第次混合后，浓度为，试用表示
（3）写出的通项公式；
（4）为使溶液的浓度不低于问至少要混合多少次？
2.能力训练题点拨与解答:
(1) A. 由
∴
又
(2) B. 设则仍为等差数列,其中∴,∴
(3)B.设公比为,则且
∴
∴
(4)C.设原产量为,平均增长率为,则
(5)B.∵为等差数列,公差为3,
∴
∴前30项的绝对值的和
(6)D. 由得
(7)
=
(8)可设前三个数依次为则第四个数为依题意:
∴ 或
(9)设等比数列的首项为公比为,项数为,(为偶数)
由题意知
∴
整理得
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴是以为首项，以为公差的递减的等差数列，设其前项和最大，则有
≥0 ≥0
≤0 ≤0
∴数列的前5项和最大。
(10)设两个数列的公共项应满足:
即
∴即是5的正整数倍,可设
于是 ，
∴
又
∴
故两数列相同的项应为：
a4，a9，a14，…，a129或b3，b9，…，b78，
即14，29，44，59，…389共26项.
二．
（1）正三角形
由已知得，且，
∴，∴
∴ ∴a=c. 从而a=b=c.
（2）108
由 得
又 .
(3)-78
由，此数列为等差数列，其中，，此数列为单调递增数列，
令，得. ∴前六项为负数项.
∴
（4）
∵
∴
（5）1，3，5
由，得，
由，得，
由，得.
（6）
由
∴为等比数列，且
∴.
（7）由递推公式有
，，，……
将上述个式子相加得
∴
∴
.
（8）①依题意，有
.
即
由，得 ③
将③式分别代入①、②式，得
∴
②由d>0可知a1>a2>a3>…>a12>a13
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。
由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,
即a6+a7>0,a7<0,
由此得a6>-a7>0,
因为a6>0,a7<0，故在S1,S2,…,S12中S6的值最大。
另还可利用二次求最值的方法求解。
（9）设的公差为d，则
（10）（1）由，得
整理得Sn-1-Sn=2Sn-1·Sn
两边同除以Sn·Sn-1，得
故数列为等差数列
（2） 由（1）得
当时，
C
∵p-r=2(p-q),∴2q=p+r.
(1)
(2)
故
（3）由（2），得,
（4）由，得
∴满足条件得最小整数为4，即为使溶液浓度不低于q%，至少要混合4次。
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