平面向量
一．网上课堂
1．本讲主要内容
2．学习指导
(1)向量运算有几种表达形式？
由于向量有两种表示形式,即几何形式和坐标形式(代数形式),因此向量的每一种运算都有两种形式,如,且夹角为θ,则：
成立.
(2)实数运算的结论在向量运算中都成立吗？
由于向量运算中的运算律的规定,有些在实数运算中成立的结论,在向量运算中则不成立.
如：①若ab=0,则a=0或b=0(a,b∈R),但若,则或或.
②若ab=bc(b≠0),则a=c(a,b∈R)但( .
③若,但.
④,但≤.
(3)平面向量与其它数学知识有什么关系？
①向量的坐标表示与复数的代数形式是一致的,因此向量的加、减法运算与复数的加、减法运算是一致的.
②∥(≠),若,,则∥.此充要条件与平面内两条直线平行的充要条件是一致的,即若
l1:, l2:,
l1∥l2.
同样⊥(为非零向量),而⊥.
3．例题精讲
例1．已知两恒力,作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动点B(7,0),试求：(1)、分别对质点所作的功；(2)、的合力对质点所作的功.(力的单位为牛顿,位移单位为米)
分析及解：由已知,,可得=(1,2),=(4,-5).
又(7,0)-(20,15)=(-13,-15)
而所求的对质点所作的功就是与的数量积,即,故可利用数量积的坐标定义求解.
(1)=(1,2)=-13-30=-43(J)
=(4,-5)=-52+75=23(J)
(2)
熟知向量的坐标表示以及数量积的物理意义是解此题的关键.
例2．已知平面向量,,
(I)证明；
(II)若存在不同时为零的实数k和t,使,,且,试求函数关系k=f(t)；
分析及解：(I)只需考虑与的数量积的坐标运算即可.
∵
∴.
(II)由已知,可得,但此时向量和没有给出坐标表示而是表示为：
,.
这里可利用向量的数量积的运算律进行运算.
∴
∴(1)
∵,∴.
2．∵,
∴由(1)式可得
∴t与k不同时为0)
灵活运用公式运算律进行计算是解此题的关键,有的同学在解第(II)题时,将、的坐标代入进行计算,使得运算过程繁琐,导致运算结果不正确.
例3．已知非零复数z的模为r(r≠1),辐角主值为θ,z、、在复平面内的对应点分别为A、B、C.
(I)O为原点,求证、是共线向量；
(II)当时,求θ与r所满足的关系.
分析及解：
(I)若证向量、是共线向量,只需证出.
由已知,可设
则,
,
于是,
,
∴,
∴与是共线向量.
(II)由(I)可知,
∴
同样
由题意：
∴
整理得 ,
即
故r,θ应满足的关系为.
注：复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b),向量.
二．网上能力训练题
1．能力训练部分
A．基础性训练题：
(1)已知,,与的夹角是60°,又,,若,则m的值是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)ΔABC的三边长AB=5,BC=7,AC=8,则的值为( ).
(A)79 (B)69 (C)5 (D)-5
(3)把函数的图象沿向量平移后得到函数的图象,则的坐标为( ).
(A) (B) (C) (D)
(4)已知向量,,与平行,那么x等于( )
(A)2 (B) (C) (D)
(5)设、是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,且,,,则四边形ABCD的面积是( ).
(A)20 (B) (C)45 (D)30
(6)在不等边ΔABC中,a为最大边,如果,则∠A的取值范围是( ).
(A)90°<∠A<180° (B)45°<∠A<90°
(C)60°<∠A<90° (D)0°<∠A<90°
(7)已知向量,,,且∥,⊥,求及与的夹角.
(8)已知、都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角.
(9)已知、为非零向量,,求与的夹角θ.
(10)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,问甲船应取什么方向前进才能追上乙船？此时乙船已行驶多少海里.
B．提高性训练题：
(1)已知,,,则=______________.
(2)已知向量、不共线,,,若与共线,则k=________________.
(3)已知、是夹角为60°的两个单位向量,则和的夹角是____________.
(4)已知,,则、、两两夹角是_________________.
(5)给定三点A(0,0)、B(1,2)、C(3,4),点D在线段AC上,若与垂直,则点D的坐标是( )
(6)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①；
②；
③不与垂直；
④
中,是真命题的有____________.
(7)若,求,与夹角θ的余弦值.
(8)已知两个向量及的夹角为60°,且,,求向量与的夹角的余弦值.
(9)在ΔABC中,在个内角A、B、C的倒数成等差数列,求的取值范围.
(10)平面直角坐标系中有点P(1,),Q(,1),.
(I)求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x)；
(II)讨论f(x)的增减性.
C．研究与探讨：
(99年全国文、理)如图,给出定点A(a,0)(a>0,a≠1)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
2．能力训练题点拨与解答
A：
(1)C
∵,∴,
∴.
(2)D
∵
=.
(3)C
∵
令 ∴
(4)B
∵两向量平行,∴6x+3=8-4x ∴.
(5)D
由已知,,
∴,,
可计算得：,∴
∴.
(6)C
∵,∴
,∴
又∵a边最大,∴A角最大
∵,∴
∴,∴.
(7)∵∥,∴,得；
∵⊥,∴,故,∴.
∴,
那么,而、是非零向量,∴⊥,即与夹角为90°.
(8)由已知,,
即
两式相减,得代入其中任一式得
∴
故与的夹角为60°.
(9)由,得,
即或
设、夹角为,得,
∵,,
∴,.
设与的夹角为θ,
则,
而
∴.
∵,
∴,∴θ=30°.
(10)如图,
设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x mile,则.
由正弦定理：,
∴θ=30°,
,
∴甲船应取北偏东30°的方向才能追上乙船,此时乙船行驶了a mile.
B．
(1)(-10,-20)
=(3,-1)=-10,.
(2)±1.
∵与共线,∴,即,
∴.
∵、不共线,
∴,解出,得.
(3)120°
∵
又,,
∴,
设、的夹角为α,则
,∴α=120°.
(4)120°
由已知,∴
∴
∴,
∴.
(5)
,,设D(3t,4t),0≤t≤1,则,
∴.
又=(3,4),⊥,
∴,
即 ,,.
(6)② ④
(7)设,
∴,
得 且
解得 x=-3,y=4,u=5,v=-12.
∴,
∴,而,,
∴.
(8)
∵,
∴.
又
,
∴
同理,.
设向量与的夹角为θ.
则.
(9)∵A、B、C的倒数成等差数列,
∴≥,
∴B≤,∴≤.
(10)(I),,依题意有
,.
(II)
=
当时,.
当时,Ｎ@∴f(x)在()上是单调增函数；在(0,)上是单调递减函数.
C．
这是一道解析几何题,利用角的平分线性质等知识可以解答此题,但此题还可以利用有关向量知识解答,且此方法比较简捷.
设C(x,y),B(-1,b),其中b为参数,设∠AOC=α=∠COB=β.
则,
∴
由α=β≠90°(即b≠0)及①、②得
整理得 ③
又A、C、B共线
则,即
得代入③,
整理得() ④
由α=β=90°(即b=0)知点C的坐标为(0,0)也适合④式.
于是(0≤x1三种情况分类讨论.
当a=1时,⑤式化为(0≤x<1)表示抛物线的一段弧.
当a≠1时,⑤式化为(0≤x1,则表示双曲线一支上的一段弧.
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