不等式(一)
第一部分 网上课堂
一.本讲主要内容
不等式的性质.
不等式的解法:一元一次不等式(组),一元二次不等式,简单高次不等式、分式不等式、无理不等式、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式.
含参数的不等式
二.学习指导
1.本讲主要帮助同学复习各种不等式的解法及一些应用.
历届高考中不等式都是考查的重点.因为不等式是研究数学问题的重要工具,是培养推理论证能力的重要内容;它渗透在高中数学的各个部分,与函数、数列、复数、三角有着密切关系.
从题型上看,选择填空题主要考查不等式的性质,比较大小和解简单不等式;解答题主要考察含参数的不等式解法,范围和最值型综合题,与不等式有关的实际应用题.
2.解不等式的基本思想是转化、化归,将其他类型的不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式来解.例如:
(1)分式不等式:整理成一般形式,再转化为整式不等式求解.
注意解分式不等式时,不能随便去分母.
(2)无理不等式:转化为有理不等式求解.
注意解无理不等式时,不能随便去根号.
(3)绝对值不等式:转化为不含绝对值符号的不等式求解,含有多个绝对值符号的不等式,可用零点分段法求解.
(4)指数、对数不等式:
若则
若,则
(5)含参数的不等式,对字母的取值要进行恰当的分类讨论,做到不重不漏.
三.例题精讲
例1.解不等式
[分析及解]这是无理不等式的一个基本类型,,方法是将其等价转化为有理不等式.
∴
解得
或
∴原不等式的解集为
例2.设,解关于的不等式.
[分析及解]解指数不等式要先将其化成同底数的指数式,再根据指数函数的单调性,比较其指数的大小.
原不等式可写成
把底数分为两种情形讨论.
(1)当时,∴
,由于
∴解得.
再解
∴当时,原不等式解集为:
(2)当时,∴
由于,∴
原不等式解集为
由(1)(2)可得:当,原不等式解集
当时,原不等式解集.
例3.解关于的不等式
[分析及解]解含参数的不等式一般都需要对参数的取值进行分类讨论,按什么标准分类,要看解题需要.
本题是含参数的无理不等式,要使二次根式的被开方数有意义,将分为三种情况讨论.
(1)当时,原不等式为∴
(2)当时,原不等式可化为:
解得 或
∴不等式的解集为
(3)当时,原不等式可化为
解得
∴不等式的解集为
∴综上可知 当时,解集为
当时,解集为
当时,解集为
例4.解不等式
[分析及解]解此题时,不能盲目地将原不等式变形为,这样入手就错了.错误的原因就是没有考虑的符号,没有考虑的取值的限制条件.
应由原不等式,先考虑
.
∴①当
∴不等式解集为
②当
∴原不等式等价为,解出.
∴不等式解集为
由(1)(2)可知,不等式解集为.
第二部分 网上能力训练题
一.能力训练部分
(一)基础性训练题:
1.选择题:
(1)不等式组的解集是( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)不等式的解集是( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)若对于任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(4)设有两个命题:①关于的不等式,对一切恒成立;②函数是减函数,若命题①②有且只有一个是真命题,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(5)设,的不等式的解集是( )
(A) (B) (C) (D)
(6)如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19千米,那么在8天内它的行程就超过2200米;如果它每天的行程比原来少12千米,那么它行同样的路程就得花9天多时间,则这辆汽车原来每天行程的千米数满足( )
(A) (B)
(C) (D)
2.解答题:
(7)解不等式
(8)解不等式
(9)设方程的两个正根、满足不等式,试求实数的取值范围.
(10)设不等式对满足的一切的值都成立,求的取值范围.
(二)提高性训练题:
1.填空题:
(1)不等式的解区间是_________________.
(2)不等式的解集是__________________.
(3)不等式的解集是__________________.
(4)已知关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为____________.
(5)要使满足不等式的的最大值是3,则=____________.
(6)已知不等式.要使满足前两个不等式的也满足第三个不等式,则实数的取值范围是__________.
2.解答题:
(7)某地要建造一个水库,设计中,水库最大容量为128000立方米.山洪暴发时,预测注入水库的水量的关系是立方米.此水库原有水量80000立方米,泄水闸每天的泄水量为4000立方米,若山洪暴发的第一天就打开水闸.
(1)写出第天水库的水量与天数的函数关系式;
(2)问:在这10天中,堤坝会发生危险吗?若会,计算第几天发生危险,若不
会,说明理由(水库的水量超过它的最大容水量,堤坝就会发生危险)
(8)设求能使为负值的的取值范围.
(9)设的取值范围.
(10)设是关于的解集,试确定、的取值范围,使得.
(三)研究性习题:
已知为正整数,且解关于的不等式
三.能力训练题点拨与解答:
(一)基础性训练题:
1.选择题:
(1)C 在的条件下,解第二个不等式,要分两种情形求解,解得和,∴不等式解集为.
此题也可用特殊值法,取代入第二个不等式,2是不等式组解,2.5不是不等式解,则(A)、(D)选项排除,再取,得,∴不是不等式组解,排除(B).
(2)B 原不等式等价于
∴解集为.
(3)C 令 ,从图象观察的取值范围
.
(4)D 若①成立,则,,若②成立,则,若①②有且只有一个为真,则.
(5)A 将原不等式展开,整理,得∴,解得.
(6)D 设汽车原来每天行程千米,则由题意,
解得 .
2.解答题:
(7)解:关键是把对数不等式化为代数不等式.原不等式等价为:
∴不等式的解集为
(8)解:原不等式可化为
∴原不等式解集为
(9)解:由已知,
由已知不等式可得
即,代入左式
可得
由
(10)解:将原不等式化为
令
把看成自变量,则的图象是一条线段.
若使不等式对满足的一切值都成立,只须使
即,解得.
(二)提高性训练题:
1.填空题:
(1) 由解得,当时,不等式不成立,∴不等式解集为.
(2) 原不等式等价为
∴不等式解集为且.
(3) 原不等式可化为
∴
解得.
(4) 原方程可变为,由题意,应满足① 又, ∴②, 解①②可得.
(5)1. 原不等式可化为,
当时,解集不合题意.
当时,若,即,则,的最大值是3,∴, ∴,即时,则 ∴.
(6) 解前两个不等式的解集为,要使的值也满足不等式
,则有
∴.
2.解答题:
(7)解:①第天注入水库的水量为立方米,泄水为立方米,则第天水库的容水量为
.
②设第天水库的水量超过它的最大容水量,即.
则
化简
左、右两边平方整理得:
∴
故第8天水库会发生危险.
(8)解:若,
则
讨论①当
②当
③当.
(9)解:, ∴由得,∴,中的不等式可等价地变形为, ∴
,
∴
当@ ∴.
故实数.
(10)解:由 解得
令
则
∴.
(三)研究性习题:
解:原不等式左端可化为:
∴原不等式化为 ①
(1)若为奇数,①式可化为
∴
∴
∴不等式解集 .
(2)若为偶数, ①式可化为
∴ 解得
同理:不等式解集为
∴当
当.
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