圆锥曲线 第一部分 网上课堂 一、本讲主要内容 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质,掌握 椭圆的参数方程,利用工具画圆锥曲线的图形,了解圆锥曲线的简单应用. 知识网络
二、学习指导 1、近年高考试题中,圆锥曲线内容在试卷中所占比例一直稳定18%左右,选择、填空、解答三种题型均涉及到.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能、基本方法,解答题则综合考查学生的“四大”能力,常作为高考数学的把关题或压轴题,重点是直线与圆锥曲线的位置关系,题型主要有三类：(1)求平面曲线的方程(求轨迹)(2)圆锥曲线的证明题.(3)圆锥曲线的最值关于圆锥曲线的证明题包括以下类型：(1)直线与圆锥曲线的位置关系；(2)有关角或线段之间的关系；(3)定值问题；(4)对称问题；(5)确定参数的范围等.试题对本章内容的考查主要体现了函数与方程、等价转化、数形结合等重要的数学思想和方法. 2、对圆锥曲线的定义,同学们要掌握其判定和性质两方面的作用,利用其判定作用,可求得圆锥曲线的轨迹方程,而利用其性质作用可解决有关圆锥曲线基本量a、b、c、p、e等问题,在应用定义时,要注意其隐含条件,如：在椭圆定义中,当2a>2c时,轨迹为椭圆；当2a=2c时,以F1F2为端点的线段,当2a<2c时,无轨迹.在双曲线的定义中,当2a<2c时,轨迹为双曲线；当2a=2c时,是以F1F2为端点的两条射线；当2a>2c时,无轨迹.在圆锥曲线统一定义中,由e的不同取值,得到不同的圆锥曲线方程. 3、熟练掌握圆锥曲线的标准方程及几何性质,如：椭圆满足三个等量关系；c2=a2-b2,e=
,p=
(P为焦点F到相应准线的距离).焦半径公式：p(x1,y1)为曲线上任一点,|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1.双曲线也满足三个等量关系,a2=c2-b2,e=
,p=
,抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系,点到焦点的距离和到准线的距离相等,可相互转化. 4、熟练掌握求轨迹的常用方法：直接法、定义法、相关点法和参数法等. 求轨迹方程的一般步骤是： (1)建立适当的坐标系； (2)设动点的坐标为(x,y); (3)列出动点所具有的几何性质； (4)将上述性质坐标化,得到关于x,y的方程； (5)将上述方程化简、整理,得到动点(x,y)满足的轨迹方程f(x,y)=0; (6)检验：检查轨迹是否有“漏点”或“多余点”,补上漏点,去掉多余点. 三、例题精讲 例1、当m变化时,讨论方程mx2+(2-m)y2=1表示的曲线形状,并画出草图. [分析及解]由题意,m
R,需对实数集R进行分类,从方程可看出,是不含xy项的二元二次方程,一般情况下表示的是圆锥曲线,而方程中不含x、y的一次项,所以不会是抛物线先考虑特殊情况,若m=0或m=2,方程表示两条直线,当m=1时,方程表示圆,当m
0且m
1,m
2时,x2,y2的项的系数可能同号或异号,故需按m(2-m)>0或m(2-m)<0分类,至此可确定分类的标准,以0,1,2为分界点,在数轴上从左到右依次讨论. (1)当m<0时,方程为

-
=1,表示焦点在y轴上的双曲线. (2)当m=0时,方程为y=

,表示平行于x轴的两条直线. (3)当02时,方程为
-
=1,表示焦点在x轴上的双曲线. 相当的草图如下： 例2设A、B是抛物线y2=2x上两点,且OA
OB,O为坐标原点.(1)求
AOB面积的最小值；(2)求弦AB的中点M到直线2x-y+2=0距离的最小值. [分析及解](1)要求
AOB面积的最小值,要将
AOB的面积S表示某一变量的函数,求函数的最小值,虽然A、B均为抛物线上两动点,而OA
OB,所以B点随A点的变化而变化,
AOB的面积也与A点的位置密切相关,A点的位置,由OA的斜率k确定,所以可取OA的斜率k为自变量,建立函数s=f(k). 设OA的方程为y=kx(k
0),则OB的方程为y=-
x,由
y=kx y2=2x 得A(
,
) 由 y=-
x 得B(2k2,-2k) y2=2x
|OA|=
, |OB|=2|k|

S
AOB=
|OA||OB|=
=2(|k|+
)

4
当k=
1时,S
AOB的最小值为4. (2)要将AB的中点M到直线2x-y+2=0的距离的表示为k的函数,可采用设而不求的办法. 设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则点M为(
,
)
OA
OB,
x1x2+y1y2=0 又
y
=2x1,y
=2x2
x1x2=


+ y1y2=0
y1y2
0
y1y2=-4
点M到直线2x-y+2=0的距离 d=
|(x1+x2)-
+2| =
|
-
+2| =
|(y1+y2)2-(y1+y2)+12| =
|( y1+y2-
)2+
|



=
∴dmin=
(1)中为k的有理分式函数,运用均值不等式求最值；(2)中通过变形化为二次函数,用配方法求最值. 例3．A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相距6千米,C在B的北偏西30o,相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4秒后,B,C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1千米每秒),A若炮击P地,求炮击的方位角. [分析及解] 将A、B、C看作直角坐标系中的点,以BA所在直线为x轴,过点B作垂直于直线BA的直线为y轴建立直角坐标系,单位长度为千米,则点B、A、C的坐标分别为(0,0),(6,0),(-2,2
). 由题意,|PB|=|PC|；∴点P必在线段BC的垂直平分线上.
kBC=-
, BC中点D(-1,
)
直线PD的方程为y-
=
(x+1) ① 又
|PB|-|PA|=4
点P必在以点A,B为焦点的双曲线的右支上,设P点坐标(x,y),双曲线方程为：
-
=1(x
3) ② 联立①②,解方程组 y-
=
(x+1)
-
=1(x
3) 解得x=11或x=
(舍)
y=5
, P(11, 5
) PA的斜率k=
=

炮击的方位角为东偏北60o 此题是空间物体的定位,利用声音传播的时间差来建立双曲线方程,然后借助曲线的交轨来确定. 例4、设椭圆L的方程
+
=1,其中a>b>0,c为椭圆的半焦距. 将椭圆L绕它的上焦点按逆时针方向旋转
,求所得椭圆L的中心的 坐标、长轴长、短轴长及其方程. 若椭圆L与曲线
在第一象限内只有一个公共点P,试用a表示点P的坐标. (3)设A、B是椭圆L的两个焦点,当a变化时,求
ABP的面积函数S(a) 的值域. [分析及解] 由已知,椭圆L的中心坐标(-c,-c),上焦点(-c,0),将L绕其 上焦点按逆时针方向旋转
时,中心恰好转到原点,且长轴长为2a,短轴长为2b,故椭圆L的中心坐标为O(0,0),所得方程为
+
=1. y=
消y
+
＝1
+
=1 b2x4-a2b2x2+a2=0
两曲线只有一个公共点,

=a4b4-4a2b2=0
ab=2 可由方程解得x1=
,x2=-
(舍去),
P(
,
) (3)在
ABC中,|AB|=2

,高为

∵a>b>0,
,∴
.

的值域为
这道题的第(1)问是一个几何图形的旋转变化,只要由已知得到其中心坐标,上焦点坐标,旋转后,很容易得到新曲线方程.第(2)问求公共点,利用方程组求解,并且注意满足在第一象限的要求,也不困难,第(3)问要巧妙利用(1)(2)问的结果,将S(a)表示为只以a为变量的函数,求出值域. 第二部分 网上能力训练题 一、能力训练部分 (一)基础性训练题: 1、选择题: 设F1和F2为双曲线
-y2=1的两个焦点点P在双曲线上,且满足 ∠F1PF2=90O,则
F1PF2的面积是( ) (A) 1 (B)
(C) 2 (D)
(2)将椭圆
+
=1绕其左焦点按逆时针方向旋转90o,所得椭圆的方程是 ( ) (A)
+
=1 (B)
+
=1 (C)
+
=1 (D)
+
=1 (3)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是( ) (A)(-3,5),(5,3) (B)(3,3),(3,-5) (C)(-1,1),(7,-1) (D)(7,-1),(-1,-1) (4) 若抛物线y=x2+m与椭圆
+y2=1有四个不同交点,则m的取值范 围是( ) (A)m>-2 (B)m>-
(C)-20)的准线相切,则p=______ (3)设椭圆
+
=1(a>b>0)的右焦点F1,右准线为l1, 若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是______ (4)以抛物线y2=8x的顶点和准线作椭圆的左顶点和一条准线,若椭圆的离心率为
,则此椭圆的方程为_______ (5)已知双曲线的渐近线方程为x
3y=0,且双曲线过P(3,2),则双曲线方程为_________ (6)有下列命题 ①圆(x-2)2+(y-1)2=1关于点A(1,2)对称的圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=1 ②以点(2,-3),(2,1)为焦点的椭圆方程方程可以是
+
=1 ③顶点在原点,对称轴是坐标轴,且经过点(-4,-3)的抛物线方程只能是y2=-
x. ④双曲线
,右支上一点P到左准线的距离为18,那么P点到右焦点的距离为
,其中正确的命题的序号是_____(把你认为正确的序号都填上). 2.解答题: (7)求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为
的椭圆的左顶点的轨迹方程. (8)设A、B、C是抛物线
上三点,如果AB,BC都与圆
相切,求证：AC也与此圆相切. (9)如图,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E满足
=

,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当
时,求双曲线离心率e的取值范围. (10)已知椭圆E：
(a>b>0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以点M为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,-1),且椭圆的离心率e与双曲线的离心率e1 之间满足ee1=1,求①椭圆E的离心率,②双曲线C的方程. (三)研究性习题: 已知椭圆C1：
(a>b>0),C2是与C1的长短轴相等的椭圆,其中M在C1上移动,长轴保持与x轴平行,①求证：不论M在C1上什么位置,C1与C2总有且仅有两个交点,②设C1、C2两交点为A,B,试证四边形OAMB是平行四边形,且其面积为定值. 二、能力训练题点拨与解答 基础性训练题: 1.选择题: (1)A 由方程知|F1F2|=
,设P(x,
)由已知F1P
F2P,有
,x2=
, S
F1PF2=
(2)C 椭圆的左焦点(-4,0)；绕其旋转90O,椭圆的中心为(-4,4) ,
椭圆方程为
. (3)B 将椭圆方程整理
,椭圆中心(3,-1),c=4,
可得焦点坐标(3,3) (3,-5) (4)D y=x2+m
消x,2y2+y-m-2=0.
=1-8(-m-2)=8m+17=0,
m=-
,此时椭圆与抛物线相切,当m
(-
,-1)时,两曲线有四个公共点. (5)A 由已知(1,0)变为(2,2) ,将点的坐标向右移动一个单位,向上移动两个单位,则y=f(x)平移后为y=f(x-1)+2. (6)D 对于椭圆
,
越大,e越小,
越小,e越大,

e11,
点P的轨迹方程为:
和
点P的轨迹为抛物线
在直线
右侧的部分和抛物线
在直线
左侧的部分. (二)提高性训练题: 1、填空题: (1)
设圆心O(x0,y0),由题意知双曲线顶点坐标A(3,0),焦点坐标F(5,0), 中心O’(0,0) 则
解得



(2)2 圆化为
,圆心(3,0),半径为4抛物线准线方程
,依题意

. (3)
设
则

消去y0,得a=2c,
(4)
设椭圆方程为

抛物线的准线方程为x=-2,

a=2

c=1


椭圆方程为
(5)

渐近线方程可写为x2-9y2=0,
设该双曲线方程为
,

,
双曲线方程为
=1,则渐近线方程为
. (6)②④ 对于①
点(2,1)关于点(1,2)的对称点为(0,3),而圆(x-3)2+(y-3)2=1的圆心为(3,3)
命题①错. 对于②
焦点为(2,-3)(2,+1)的椭圆中心(2,-1)半焦距c=2,可以是椭圆方程

②正确. 对于③,顶点在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(-4,-3)的抛物线有两条：
,

③错. 对于④,
,P到左准线距离为18,
P点到右准线距离为18-
=
,则它到右焦点距离为
,
④正确. 2、解答题: (7)解：
椭圆经过M(1,2),且以y轴为准线
椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴. 设椭圆左顶点为A(x,y),因为椭圆的离心率为
,
在顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的
,从而左焦点F的坐标为(
,y). 设d为点M到y轴距离,则d=1,根据
及两点距离公式有
(8)证明： 如图 设A点的坐标(t1,t12),B点的坐标为(t2,t22),C点的坐标(t3,t23).则 AB：(t1+t2)x-y-t1t2=0
AB与圆x2+(y-2)2=1相切

即(1-t22)t12-2t1t2+t22-3=0 ① 同理,由BC与圆x2+(y-2)2=1相切,得 (1-t2)2t32-2t2t3+t22-3=0 ② 由①②知t1t3是方程(1-t22)t2-2t2t+t22-3=0的两个根,则t1+t3=
,t1t3=

AC(t1+t3)x-y-t1t3=0 则圆心(0,2)到直线AC的距离为 d=


故AC与圆x2+(y-2)2=1相切 (9)解：如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD
y轴,因为双曲线经过C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称. 依题意,记A(-c,0),C(
,h),E(x0,y0) 其中c=
为双曲线的半焦距,h是梯形的高. 由
=

,即(x0+c,y0)=
(
-x0,h-y0),得x0=(
,y0=
) 设双曲线的方程
,则离心率
. 由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和
代入双曲线的方程
①
② 由①式得
③ 将③式代入②式,整理得
故
依题意
得：
解得

双曲线的离心率的取值范围为[
] (10)解：①A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)则有b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,两式相减,得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0 ① 由M(2,1)是AB的中点,得x1+x2=4,y1+y2=2 又
A、B、M、N四点共线,
在式①中两边除以(x1-x2)并将上面的值代入可得
+
, 即
,从而
,即a2=2c2,故
,∴椭圆离心率为
. ②由①可得椭圆右准线方程为x=2c,双曲线的离心率
设P(x,y)是双曲线上任一点,根据圆锥曲线的统一定义,点P与其焦点的距离|PM|与P与其相应准线x=2c距离的比等于其离心率,即|PM|=e1 |x-2c|=2(x-2c)2 ② 将N点的坐标(4,-1)代入,得4+4=2(4-2c)2 解得c=1,c=3 当c=1时,代入式②变形得(x-2)2-(y-1)2=0 (舍去) 当c=3时,代入式②变形得(x-10)2-(y-1)2=32 故双曲线C的方程为(x-10)2-(y-1)2=32 (三)研究性习题: (1)证明：C1：
① 设M点的坐标为(x0,y0),则曲线C2为
②
M
C1,

③ 由式①—式②并应用式③得
即ab2x0x+2a2y0y-a2b2=0 ④ 当y0
0时,由式④得
代入式①变形得
⑤

=
>0
方程⑤总有两个不相等的实根 当y0=0时,x0=
a 若x0=a,则由式①④解得x=
,y=
若x0=-a,则由式①④解得x=-
,y=
综上知,由式①与④组成的方程组有且仅有两个不同的实数解,即C1与C2有且仅有两个交点. (2)设C1与C2的两个交点为A(x1,y1) B(x2,y2) 当
时,(x1,y1)(x2,y2)分别满足式④,⑤,故式④就是过交点A,B的直线方程,由韦达定理得 x1+x2=x0 x1x2=

y1+y2=-

从而知AB的中点为(
,
),它也是OM的中点,故四边形OAMB是平行四边形.
□OAMB=2S
AOB=
ab(定值). 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u

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