常用数学思想方法 1. 函数与方程的思想方法: 在数学解题中,有时需要把一个变量看作是另一个或另几个变量的函数,从而把题目转化为对函数的研究; 有时题目中已经直接或间接地给出了某个函数,这时我们就可以充分挖掘和利用这个函数的性质使它为解题服务; 有时我们可以依据条件去构造函数,通过对这个新的函数的研究去达到解题的目的.这些解题的思路都是在函数和变量的思想指导下启发出来,这种解题方法即为函数的思想方法. 有大量的数学问题都可以转化为方程问题,也有许多数学问题从表面上看,与方程没有多少直接联系,但是从分析这些问题的数量关系入手,往往又可以把这些数学关系放到一个或几个方程中去解决,因此在解题中主动进行这种由未知向已知的转化,有意识地通过方程解决问题就成为解题中的一个常用的指导思想,这就是方程思想. 方程(或不等式)与函数是互相联系的,在一定条件下,它们可以互相转化,如解方程就是求函数的零点;解不等式,就是由两个函数值的大小关系确定自变量的取值范围,这种形成了它们之间的内在规律. 例1. 设对所有实数不等式  恒成立,求实数的取值范围. 分析及解: 首先从化简的角度,应将不等式化简, 令则有  (*) 由题设上式对任意恒成立,当且仅当    ∴ 即解出 此题还可以这样求解: 由(*)式分离主元得  即  从而有  (**) 上式对任意均成立,只要小于右端的最小值,即亦即  解出  此解法是利用函数思想求解的,(**)式中为的函数,其定义域,不妨设≥0,(**)式的实质是,需小于的任一函数值,因此只需小于的最小值即可. 故. 例2. 证明: 对于一切大于1的自然数恒有  分析及解: 原不等式等价于:  我们可视不等式的左边为变量为自然数的函数,利用其单调性求解. 令≥2且 则有 ≥2且   ≥2且 ∴即是单调增函数, (≥2且 又 ∴当时,恒有 故≥2且 注: 利用函数的单调性来证明不等式. 例3. (1)证明下面的命题: 一次函数若,则对于任意的都有 (2)试用上面的结论证明下面的命题: 若均为实数,且,则 分析及解: 本题是由一次函数的图象编拟的,要求用函数思想给出证明,我们不妨从函数的单调性入手. 当时,在上是增函数,当时,则有f(m)f(x)>f(n). ∵f(n)>0, ∴ 综上所述,当k0时,对于任意,都有 (2)题目要求用第(1)小题的结论证明该命题,所以首先需要构造一次函数. 注意到欲证不等式等价于(b+c)a+bc+1>0,因此可构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1, 当时,f(a)=bc+1=即ab+bc+ca>-1. 当时,f(x)=(b+c)x+bc+1为一次函数. ∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0, ∴由第(1)小题的结论,对于任意,都有f(a)>0. 即ab+bc+ca+1>0. 综上所述,恒有ab+bc+ca>-1. 例4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，请说明理由。 分析及解：首先利用待定系数法确定两种函数的解析式，再判别时哪个函数值更接近1.37. 设 则  解得  ∴ 再设 则  解得  ∴ 经比较可知，用作为模拟函数较好. 例5.已知二次函数y=f(x)在处取得最小值 (Ⅰ)求y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若任意实数都满足等式(g(x) 为多项式,,试用表示 (Ⅲ)设圆cn方程为圆cn与圆cn+1外切, {是各项都是正数的等比数列,若为前个圆的面积之和,求 分析及解: (Ⅰ)由题意可设二次函数为顶点式,然后利用待定系数法求出的表达式. 设 ∵f(1)=0,∴ 得 ∴ (Ⅱ)从中,求出an与bn,要使用待定系数法,取的特殊值,得到两个关于an, bn的方程,由于g(x)是任意多项式,所取值必须使.是一元二次方程,其两根为x1=1,x2=t+1,所以将x=1与x=t+1代入得到关于an, bn的两个方程,以求an, bn. 将代入已知等式得  将分别代入上式，得  解此关于an, bn的方程组。 由，可解得   （Ⅲ）圆与圆外切,则 ∵ 又∵ ∴ (或∵∴圆的圆心在直线x+y=1上,于是) 又∵  ∴ (1) 为了求得,还需再找出一个关于的等式,通过解方程组,求出 设{}的公比为q,则由(1)式可得  (2)  (3) (3)(2)得  将(1)式代入上式得  ∴   注: 本题为1995年全国高考上海理科第25题.主要考查二次函数的知识,多项式的知识,直线与圆相切的条件,考查等比数列的概念,等比数列的求和,以及综合运用数学思想方法和数学知识解决问题的能力. 例6. 设椭圆的方程曲线的方程为,且c1与c2在第一象限内只有一个公共点P. (1)试用a表示点P的坐标; (2)设A, B是椭圆c1的两个焦点,当α变化时,求ABP的面积函数S(a)的值域; (3)记min{y1,y2,…,yn}为y1,y2,…,yn中最小的一个,设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a),S(a)}的表达式. 分析及解: (1)将代入椭圆方程,得  化简得  由条件,有  ∴ab=2代入椭圆方程中得 (舍去) 故P点的坐标为( (2)如图,在ABP中,高为 ∴  ∵a>b>0, ∴ 即 于是  故  即ABP的面积函数S(a)的值域为 (3)先求出g(a)的表达式,然后将g(a)与S(a)比较大小即可. g(a) 解不等式g(a)≥S(a), 即 ≥ 整理得 ≥0, 即 ≥0, 解得 a≤(舍去) 或a≥ 故 ≤)  注: 此题是1999年上海高考题. 本题是解析几何与函数的综合性问题,主要考查曲线交点的求法,函数解析式的求法,函数的值域等问题.函数问题中定义域先行的原则是处理函数问题的基本原则,应牢牢掌握. 能力训练题: (1)方程的解属于区间( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3, (2)若f(x)是奇函数,且在内是增函数,又=0,则等于( ) (A)或 (B)或 (C)或 (D)或 (3)设,如果恒成立,那么( ) (A)a≥1 (B)a1 (C)≤1 (D) a1 (4)已知关于x的方程有实数解,则实数的取值范围是( ) (A)k≥ (B)≤k<1 (C)≤k≤1 (D) b, 求证: ≤≤ (12)设对任意实数,不等式总成立,求实数的取值范围. (13)若方程有唯一的实数解,求的取值范围. (14)已知锐角满足 求证:  (15)已知且f(1)=0,当时,恒有 (ⅰ)求f(x)的解析式； (ⅱ)若方程f(x)=lg(m+x)的解集是空集,求实数m的取值范围. (16)如图,过点B作椭圆的弦BM,求这些弦长的最大值. 思路点拨: (1)C 设,作出两个函数图象观察其交点可得. (2)D ∵f(x)为奇函数,f(-3)=0, ∴f(3)=0, 又f(x)在 , ∴f(x)在 ∴可得f(x)在(-3,0)(3,+上f(x)>0,在 故选D. (3)D 只需求的最小值即可. ∵≥10, ∴≥1, ∴ (4)C  ∴≤k≤1. (5)-255,3025; 令x=1 则 ① 令x=0 则 ∴ 令x=-1 则 ② ①+②得 ∴ (6) 由题意知方程有两个虚根. (7)由已知在≥2时,时,  ∴ 设函数 ∵在上都是减函数， ∴g(x)在上是增函数， ∴函数g(x)在上的最大值为：  故a的取值范围是 (8)令取0
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