怎样解填空题
一.解填空题常用的方法
填空题其实就是隐去结论的解答题,只要求写出结论而不要求解题过程.填空题和选择题同属客观性试题,有许多共同的特点:题目精炼, 考查目标集中,答案简短, 明确, 具体, 评分客观, 公正, 准确. 但两者也有质的区别, 填空题没有备选答案, 要求学生独立思考和求解的能力高一些, 因而长期以来, 高考填空题的答对率一直低于选择题, 还有填空题的结构, 往往是在一个正确的命题或断言中, 抽去其中的一些内容(可以是条件, 也可以是结论), 留下空位, 让考生独立填上, 考查方法比较灵活, 在对题目的阅读理解上, 较之选择题, 有时会显得较为费劲.
从94年高考的教学成绩满分改为150分以来, 除94年填空题占24分, 95年填空题占20分, 96年至2000年均为4道题, 16分,占整个总分的10%强, 即在整个试卷中填空题往往被放在比较轻的位置上, 题量不多, 且题目难度控制在低, 中档层次上,所以同学们还应较好地掌握必要的方法, 提高解答填空题的准确率.
填空题大部分为计算题, 而且不要写出解答过程, 因而一些非常规手法, 即巧法还是可以用的, 使得节省考试时间, 迅速获得正确答案, 常用的方法有:
1.直接法: (这是常规方法, 直接从题设条件出发, 计算得出结论), 一些平时做题得到的正确结论, 在解题时直接运用, 提高思维的起点, 简化计算过程.
2. 特殊值法: 当填空题的结论唯一或其值为定值时, 可以把题中的变化的不定量用特殊值代替之,得到结论.
3.图解法: 由题目的特点, 采用数形结合的思想方法, 作出图象, 借助图形的直观性得到结论.
随着高考内容的变化, 填空题的题型也在变化, 比如: 增加了实际应用方面的类型. 出现了一些开放性结论的填空题, 象1999年的立体填空题, 1997年, 1998年出现的类似多选题的填空题.
二.例题精讲
例1.
(1)在等比数列中, 记已知 则公比q=__________.
(2)将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排, 其中A, B, C必须按A左, B中, C右(可以不相邻)的顺序排列, 共有______种不同的方法.
(3)在复平面内, 复数对应的点分别为A, B, C, 作平行四边形ABCD, 则|BD|=________.
[分析及解]直接法是解选择题最常规的解法, 但既然是填空题, 一定要动脑筋选择简便的方法.
(1)解法一: ∵, ∴①
∵ ∴ ②
将①代入② 解得 , .
解法二: 由已知, ∴
显然, 解法二要简便.
(2)将问题转化为六个字母填入六个空格内, 先将D, E, F填入, 有种填法, 剩下的3个空格填入字母A, B, C, 因A, B, C顺序一定, ∴只有一种填入法, ∴排列数为=120种.
(3)A(0, 1), B(1, 0), C(4, 2), 利用平行四边形对角线的平方和等于其四边平方和的性质,∴ ∴.
这就是利用所学过的结论, 直接得出结果并将数形结合思想运用在例题过程中,
所以填空题要 “小题小做”不能 “小题大做”.
例2.
(1)函数的奇偶性是______________.
(2)若a, b, c三数成等差数列, 则直线必过点___________
(3)已知,那么_______.
[分析及解]对于有些题, 运用特殊值的方法很容易解答, 这是根据一般成立, 特殊也成立的原理, 体现了化一般为特殊的思想.
(1)取 ∴, 为偶函数.
(2)由, 直线为, 直线为.
∴ ∴过点(1, -2)
(3)令x=0, ∴,
则 .
例3.
(1)不等式≥x的解集为_______________
(2)在球面上有四个点P, A, B, C, 如果PA, PB, PC两两互相垂直, 且PA=PB=PC=a, 那么这个球面的面积是______________.
(3)在一块并排10垄的田地中, 选择2垄分别种植A, B两种作物,每种作物种植一垄, 为有利于作物生长, 要求A, B两种作物的间隔不小于6垄, 则不同的选垄方法共有______种.(用数字作答)
[分析及解]有些题目, 与函数图象或几何图形有关, 可以用图解法做.
(1)在同一坐标系里作出, , 即(y≥0)圆的上半部分, 由图形易知, 当-5≤x≤时, 满足不等式, 可用方程=x求解, ,
∴不等式的解集为≤≤
(2)由于PA=PB=PC=a, 且PA, PB, PC两两相互垂直, 则可将PA, PB, PC视为从正方体的一个顶点出发的三条棱, 此正方体内接于已知球, ∴球半径为.
(3)示意图如下: 10垄按要求可选垄的方法:
图示共6种, 将A, B作物交换位置, 又有6种, 共12种.
例4.
(1)建造一个容积为, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元, 那么水池的最低总造价为________元.
(2)在测量物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得n次测量分别得到共n个数据, 我们规定所测量物理量的 “最佳近似值”a是这样一个量: 与其他近似值比较, a与各数据的差的平方和最小, 依此规定, 从, 推出的a=________.
[分析及解]应用题是近几年高考的一个热点, 对于学生来讲也是难点, 但填空题的应用题难度不大, 关键要将题读懂, 建立函数关系.
(1)数学模型为:
总造价=池底单价池底面积+池壁单价池壁面积
∴设池底一边长xm, 则另一边为.
∴
≥(元)
此题也可以这样想: 池底造价由于池底面积一定,则造价也一定, 可算出480元, 而池壁造价是与池壁面积有关, 也即与池底面周长有关, 面积为定值的长方形中以正方形的周长为最短, 所以池底面周长应为, 因而池壁面积, 池壁造价(元), 故总造价最低为1760元.
(2)此题文字叙述较长, 还引入 “最佳近似值”一个新概念, 但只要抓住 “什么是a”,便可突破难点, 依题意, a是使最小的那个x值.
这是一个二次函数求最值问题, 当时, 差的平方和最小.
此题关键是要理解题意.
例5. (1)已知是直线, 是平面, 给出下列命题:
①若l垂直于内的两条相交直线, 则;
②若l平行于, 则l平行于内的所有直线;
③若且;
④若;
⑤若
其中正确的命题的序号是_______________, (注:把你认为正确的命题的序号都填上.)
(2)关于函数有下列命题:
①由必为的整数倍;
②的表达式可改为
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称;
其中正确的命题序号是___________________.
(3)是两个不同的平面, m, n是平面之外的两条不同直线, 给出四个论断: ①;②;③;④, 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题______________.
[分析及解]这三道题是近三年高考试卷中的新类型, 前2题是选择型的填空题,而第3题是开放性结论的填空题, 特点是题目内容较长, 考查知识点增多,并且考查学生思维的深刻性, 灵活性, 要求必须回答完全, 全面, 才能得分.
(1)运用所学的立体几何定理, 并把各命题的文字语言或符号语言转化为图形语言, 较易判断正确答案应是①④.
(2)此题主要考查的性质. ∵f(x)的周期是, 当, 即相邻两点相差 ∴①不正确.
观察,
∴, ∴②正确
若关于点对称, 则此点应为使的点, 若关于直线对称, 则此直线应过函数的最大(小)值点.将使函数值为0, ∴③正确,④不正确.
(3)依题意, 可以得出下列四个命题.
命题甲:
命题乙:
命题丙:
命题丁:
其中甲, 乙错误, 丙, 丁正确, 所以选择丙, 丁命题中任一个答上都可以, 要将命题写完整.
三.能力训练题
1.已知则P,Q的大小关系是_________.
2.|x|的单调区间是____________________.
3.上仅有一个实解, 则a的范围是______________.
4.已知: ,且, 则b的值是______________.
5.三个数的大小关系是___________________.
6.数列满足,若存在,则x的取值范围是_____________.
7. 正数x, y满足则xy的最大值是____________.
8.若a>0, b>0, 且的大小顺序是______________________________.
9.某厂生产电子元件, 其产品的次品率为5%, 现从一批产品中任意地取出2
件, 其中次品数的概率分布是
10. 正六边形的中心和顶点共7个点, 以其中3个点为顶点的三角形共有______个(用数字作答)
11.值是________________.
12.在无穷等比数列中, 则 =___________________.
13.如图, ABCD是正方形, E是AB的中点, 如将分别沿虚线DE, CE折起, 使AE与BE重合, 记A与B重合后的点为P, 则面PCD与面CED所成的二面角为___________度.
14.设函数的定义域是[](n是自然数), 那么的值域中共有________个整数.
15.与圆外切, 且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为____________________.
16.设函数的图象关于直线对称, 若当≤1时, ,则当x>1时, y=____________.
17.从6台原装计算机与5台组装计算机中任意选取5台, 其中至少有原装与组装计算机各2台, 则不同的选取法有________种(结果用数值表示).
18.若双曲线没有公共点, 则实数k的取值范围是___________________.
19.的展开式中的系数为_______________.
20.若正数a, b满足则ab的取值范围是________________.
21.函数的反函数的定义域是___________________
22.设是公差为-2的等差数列, 如果,那么____________,
23.求值: =____________
24.解不等式的解集是________________.
25.集合的所有子集的所有元素之和为_____________.
四.能力训练题解答与点拨:
1. P≤Q, 直接证: ≤0, 或特殊值法:取a=0, P=Q;取 ∴P0, ∴两圆外切, 圆心距等于半径之和, 整理得.
16. . 数形结合法. ∵x≤1时, , 在右侧, 的图象是以(2,1)为顶点的抛物线的一部分, ∴x>1时, 5.
17. 350
18.
数形结合法: 若双曲线与圆无交点, 则|3k|>1,
∴
19. 179
, 所以, 的系数为.
20. 由均值不等式≥, 且已知, ∴≤, 即≥0. ∴≥3或≤-1(舍). ∴≥9.
21. (-1, 1) 求反函数的定义域即求原函数的值域, ∴反解出, ∵ 解得.
22. –82 共33项, 共33项,
∵50=,
∴令
∴
∴
23. 题目要求求值, 则答案必为定值, 与无关, 令=0, ∴原式=
24. .图解法. 在同一坐标系作出y1=4, ||, 两方程的交点为(-1, 4) (4, 4), 由图可得解集.
25. M的子集中含元素1的子集有个, ∵含有n个元素集合的子集个数有个（包括空集）, ∴含元素1的子集有个, 同理, 含2, 3, 的子集也各有个, ∴集合M的所有子集的所有元素之和为个.
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