应用性问题＜一＞
所谓数学应用题,是指带有一定的生活、生产实际背景的数量化问题.综合分析这些年的高考数学应用性问题,大致可以分为以下三类：
(1)直接套用已有的数学公式；
(2)利用现成的数学模型对问题进行定量分析；
(3)综合经过抽象加工(略去次要因素、保留主要因素)的各要素之间的数量关系,建立数学模型.
数学应用性问题按照数学知识内容分类又可分为：函数问题、不等式问题、数列问题、三角问题、立几问题、解析几何问题、概率、导数与积分等等.
从题型上看数学应用性问题可分选择题、填空题、解答题三种形式.
解应用题,首先应通过审题,分析原型结构,深刻理解问题的实际背景,确定主要矛盾,提出必要的假设,将应用问题数学化,数学问题标准化,然后,求解、检验,得应用问题的解.
一．例题讲解
(一)函数、方程与不等式问题:
例1．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情知,从一月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天).
分析及解：
(1)根据已知函数的图象,利用待定系数法可求出f(t)和g(t).
由图一可得：P=f(t)=
由图二可得：Q=g(t)=a(t-150)2+100 087.5,
∴h(t)在t=50时取得最大值,即从一月一日起第50天时,收益最大.
说明：此题属于“利用现成的数学模型对问题进行定量分析”的应用问题,所涉及的数学知识是待定系数法求函数表达式和二次函数求最值问题.应注意函数h(x)为分段函数,因此需分段求最值,然后再比较求出最大值.
例2．预计某地区明年从年初开始的前x月内,对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)=x(x+1)(35-2x) (x∈N*,x≤12).
(1)写出明年第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系关系式,并求出哪个月份的需求量超过1.4万件？
(2)如果将该商品每月投放市场p万件；要保证每月都能满足供应,p至少为多少才能满足？
分析及解：
(1)利用关系式 可求出第x月的需求量g(x)与月份x的函数关系式.
第1个月的需求量为：g(1)=f(1)=.
当x≥2时,每月需求量
①
又当x=1时,g(1)=满足①式,
∴g(x)=,(x∈N*,1≤x≤12).
令g(x)= >1.4,
得50,得00,
t∈(-1,1)时,<0.
∴t∈(-2,-1)时,T(t)↗,t∈(-1,1)时,T(t)↘,t∈(1,2)时,T(t)↗,
∴t=-1时,T(t)有极大值,
∴T(-1)=62,T(2)=62.
∴在10：00到14：00这段时间中该物体在11：00和14：00时,温度最高为62℃.
(3)由题意知,平均温度为
＝
＝
＝60.
∴该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度为60℃.
说明：此题属于“利用现成的数学模型对问题进行定量分析.”的应用问题.涉及的数学知识：导数与积分的应用.
(二)三角形问题:
例5．根据指令(r,θ)(r≥0,-180°<θ≤180°),机器人在平台上能完成下列动作：先在原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针旋转θ,θ为负时,按顺时针旋转θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4)；
(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)(2000年上海高考试题)
分析及解：
(1)如图,可知r=,θ=,∴指令为().
(2)如图,设机器人最快在点P(x,0)处截住小球,因为小球速度是机器人速度的二倍,所以在相同的时间内|17-x|=2.
解得：,或x=7.
显然需小球滚动距离|17-x|最短,x=7.
∴机器人最快可在(7,0)处截住小球.
为了给出机器所需的指令,所需求出PA及θ值.
在ΔAOP中,由余弦定理得PA2＝72+
∴PA＝5.
又由正弦定理得 ,
∴∠PAO＝,
即 ∠PAO＝81.87°
∴指令为(5,-98.13°).
说明：此题属于“综合经过抽象加工的各要素之间的数量关系,建立数学模型”的应用问题,所涉及的数学知识解三角形的知识及解方程,解题的关键是作出图象可帮助我们分析问题.
例6．外国船只除特许者外,不得进入离我海岸线d海里以内的区域,设A、B是我方观察站,A与B之间的距离为S海里,海岸线是经过A、B的直线.一外国船只在P点,在A站测得∠BAP＝α,在B站测得∠ABP＝β,问α,β应满足什么简单的不等式,就应该向此未经特许的外国船只发出警告,命令退出我海域.
分析及解：
如图,当h≤d时,观察站应发出警告,因此需求出h.
(1)当α,β均不为钝角时,
AC=h·α≥0,
BC=h·β≥0,
∴S=AC+BC=h(α+β)>0.
(2)当α为钝角,β为锐角时,
β<π-α.
AC=h(π-α)=-hα>0,
BC=hβ>h(π-α)=-hα,
∴S=BC-AC=h(α+β)>0.
(3)当α为锐角,β为钝角时,同理有
S＝h(α+β)>0
由(1),(2),(3)均有S=h(α+β)
∴
依题意,当h≤d时应发出警告,即
≤d
∴α+β≥时应发出警告.
说明：此题属于“综合经过抽象加工的各要素之间的数量关系,建立数学模型”的应用问题,应注意对α,β的取值范围的分类讨论.
二．练习
1．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”,若地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形,东西走向的公寓.请划出这块地基,并求地基的最大面积.(精确到1m2)
2．某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件,假定定价上涨x成(即,01.
∴,
解得 00,即c>b时,0≤x≤,
此时填湖最大面积为亩.
(2)设该县现有水面m亩,今年填湖造地面积为x亩,依题意,则
x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…≤,
∴≤,
x≤
∴今年填湖造地面积最多只占现有水面的0.25%.
4．如图,由条件B处的声强是A处的4倍,声强与距离的平方成反比,则
,即｜PA｜＝2｜PB｜,
又∵|PA|-|PB|=6a,|AB|=10a,
∴|PB|=6a,|PA|=12a.
在ΔAPB中,由余弦定理得
∠PAM＝,|AM|=|AB|=5a,
∴,
∴(米).
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