第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[知识能否忆起]
一、简单的逻辑联结词
1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
二、全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
三、含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，綈p(x0)
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，綈p(x)
[小题能否全取]
1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案：D
2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，x0＋＝2 B．?x0∈R，sin x0＝－1
C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R,2x>0
答案：C
3．(2012·湖南高考)命题“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( )
A．?x0??RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，x?Q
C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q
解析：选D 其否定为?x∈?RQ，x3?Q.
4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.
答案：所有的三角形都不是等边三角形
5．命题“?x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：?x0∈R,2x－3ax0＋9<0为假命题，则?x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
含有逻辑联结词命题的真假判定
典题导入
[例1] (2012·齐齐哈尔质检)已知命题p：?x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|13x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg 1＝0，因此D正确．
[答案] B
由题悟法
1．全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
以题试法
2．(2012·湖南十二校联考)下列命题中的真命题是( )
A．?x0∈R，使得sin x0cos x0＝
B．?x0∈(－∞，0)，2x0>1
C．?x∈R，x2≥x－1
D．?x∈(0，π)，sin x>cos x
解析：选C 由sin xcos x＝，得sin 2x＝>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝2＋>0恒成立，所以C正确．
全称命题与特称命题的否定
典题导入
[例3] (2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被2整除的整数都是奇数
B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数
D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数
[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.
[答案] D
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．
答案：所有能被2整除的整数都不是奇数
由题悟法
1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
以题试法
3．(2012·辽宁高考)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：选C 命题p的否定为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f( x1))(x2－x1)<0”．
1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )
A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：选D 全称命题含有量词“?”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.
2．(2012·山东高考)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：选C 命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．
3．(2013·广州模拟)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析：选D 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．
4．下列命题中，真命题是( )
A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数
D．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A 由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
解析：选D 因为?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.
6．(2012·石家庄质检)已知命题p1：?x0∈R，x＋x0＋1<0；p2：?x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是( )
A．(綈p1)∧(綈p2) B．p1∨(綈p2)
C．(綈p1)∧p2 D．p1∧p2
解析：选C ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p 1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴?x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．
7．(2012·“江南十校”联考)下列说法中错误的是( )
A．对于命题p：?x0∈R，使得x0＋>2，则綈p：?x∈R，均有x＋≤2
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
解析：选D 显然选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故选项D错误．
8．(2013·石家庄模拟)已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
解析：选A 若命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
若命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.
9．命题“存在x0∈R，使得x＋2x0＋5＝0”的否定是________．
答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
10．已知命题p：“?x∈N*，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
解析：q：?x0∈N*，x0≤，当x0＝1时，x0＝成立，故q为真．
答案：?x0∈N*，x0≤ 真
11．若命题“存在实数x0，使x＋ax0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
12．若?θ∈R，使sin θ≥1成立，则cos的值为________．
解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1.
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．故cos＝.
答案：
13．已知命题p：?a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|10.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的．在②中l1⊥l2?a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
1．下列说法错误的是( )
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：若“a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：?x0∈R，ln(x＋1)<0，则綈p：?x∈R，ln(x2＋1)≥0
D．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
解析：选D sin θ＝是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.
2．(2012·“江南十校”联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题
C．綈p为假命题 D．綈q为假命题
解析：选B ∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题．
3．已知命题p：“?x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
答案：(－∞，1]
4．下列四个命题：
①?x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2；②对?x∈R，sin x＋≥2；③对?x∈，tan x＋≥2；④?x0∈R，使sin x0＋cos x0＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：∵sin x＋cos x＝sin∈[－， ]；
故①?x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2错误；
④?x0∈R，使sin x0＋cos x0＝正确；
∵sin x＋≥2或sin x＋≤－2，
故②对?x∈R，sin x＋≥2错误；
③对?x∈，tan x>0，>0，由基本不等式可得tan x＋≥2正确．
答案：③④
5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a3}，
因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以AB.
所以03，即12或a<－2.
即a的取值范围为.
1．(2012·济宁模拟)有下列四个命题：
p1：若a·b＝0，则一定有a⊥b；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝a1－2x＋1都恒过定点；
p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0.其中假命题的是( )
A．p1，p4 B．p2，p3
C．p1，p3 D．p2，p4
解析：选A 对于p1：∵a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C.
2．若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1
【点此下载】