几何法求最值技巧 一、教学目标: 使学生掌握几何法求最值的常规技巧.会用几何法求某些函数的最值. 二、教学重难点: 如何平移线段和如何构造图形是本课的重点又是难点. 三、教学方法:探研法. 四、教 具:多媒体. 五、教学过程: 1.引入课题 函数的最值(值域)是高中数学的重点内容,也是近几年高考的热点，对最值的求 解可分为两大类： 对能写出解析式(较简单的)可用配方法、判别式法、有界法、函数单调性、重要 不等式、导数法. 对不能写出解析式(或解析式较复杂)可用线段平移、构造图形、表面展开、线性 规划等方法. 2.例题选讲 例1.在直线L:y= x+3上取一点P,过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆, 求椭圆长轴的最小值及此时P点的坐标与椭圆方程. 解:易求得双曲线的两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),由此设椭圆为:

由椭圆定义与平面几何的结论得:
当且仅当点P重合于点Po时，上式取"="号，

例2.如图,有一条河,两个工厂P和Q位于河岸L(直线)的同侧，工厂P和Q距离河岸L分别为10km和8km,两个工厂的距离为14km,现要在河岸的工厂一侧选一处R,在R处修一个水泵站,从R修建直线输水管分别到两个工厂和河岸,使直线输水管的总长度最小.请确定出水泵站R的位置,并求出R到各处的距离. 解: 将⊿PRQ绕P点逆时针旋转60o到PR'Q'(如图) 当Q',R',R三点共线且垂直L时总长最小. 此时∠PRQ=120o, ∠PRR'=∠QRR'=60o, 延长QR交P到L的垂线于A点,则⊿PRA为正三角形 作QB垂直PA于B,可求得BA=8,又PB=2,所以 PR=PA=10,R到L的距离为5,QR=QA-RA=6. 回归:若R点在河岸L上时如何求解？结果如何？ 引申:若将上述三个距离改为任意正数a,b,c时 如何求解？ 例3.
解:
为半圆:(x-2)2+y2=4 (y≥0)上的点P到直线2x-2y+7=0的点Q的距离.(如图) |BD|为最大值，|CE|为最小值.

例4.如图,V-ABCD为正四棱锥(∠AVB<45o),闭折线AEFGA是过A且沿正四棱锥侧面一周的细绳最短时的路径.问四点A,E,F,G是否一定共面?并说明理由. 解:将正四棱锥的侧面沿VA剪开并铺平在一个平面上,(如图) 则细绳长度的最短值即为线段AA1,且E1,F1,G1三点分别对 应E,F,G三点.假设A,E,F,G四点共面.不妨设VA=1,




在ΔAVC中,∵VO?AC=VC?AF,



四点A,E,F,G才可能共面. 六、小结: 几何法求最值的常规方法有： 1.线段平移法 技巧为：对称点转移（或等腰三角形转移）正三角形转移. 2.数形结合法 3.表面展开法 4.线性规划法 (略) 七、作业 1.相距40km的两城镇A,B之间有一个圆形湖泊,圆心落在AB连线中点O,半径为10km,现要绕过湖泊修建一条连结两镇的公路,这条公路的最短路程为( )km.
答案: D 2.
上的动点,则|PA|+|PF1|的最小值是
答案: B 3.已知A为60o二面角α-L-β内一点,点A到两个平面的距离分别为2和3,P,Q 分别在平面α，β内，求三角形APQ周长的最小值. 解:过A点分别作两平面的对称A',A'',连接A',A'',设A'A''交两平面α,β分别为P,Q,此时的三角形APQ即为周长的最小值的三角形,易证其周长为A'A'',
4.已知实数x,y满足:x≥1,y≥1,loga2x+loga2y=loga(ax2)+ loga(ay2) (a>0且a≠1) 求loga(xy)的取值范围. 解:原式可化为:(logax-1)2+(logay-1)2=4. 令u=logax,v=logay,k=u+v. 点P(u,v)在(u-1)2+(v-1)2=4 (uv≥0)一、三象限两段圆弧， k为一组平行直线v=-u+k在y轴上的截距.(如图)

补充 1.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段的中点为M.求M点到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标. 解:设L为y2=x的准线，(如图)
设点M的坐标为(xo,yo),则



2.
8 3.如图,L1,L2表示地面上两条河道,L1,L2垂直交于O点,A,B表示两村庄.A到L1,L2的距离分别为2公里、1公里; B到L1,L2的距离分别为4公里、3公里;现要在河流L1,L2上选一地点M建一抽水站,分别铺设水管到A,B两村,问M应选在何处水管造价最少? 解:如图,以L1,L2分别为x轴,y轴建成立坐标系,则A(1,2),B(3,4),A关于x轴,y轴的对称点分别为A1(-1,2),A2(1,-2).
4.在一条直线路径上有A1,A2,A3,A4,A5五个机器人在工作,为节约时间,提高效率,工厂欲在此直线路径上设一零件供应点M,使M与五个机器人的距离总和最小,则M应设在何处? 解:M应设在A1,A5之间的A3处. 5.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4,侧棱长为8,E,F分别是PB,PC 上的点,求ΔAEF的周长最小值. 解:如图,沿PA展平正棱锥的侧面,则原ΔAEF的 周长最小值等于线段AA'的长， 设∠APB=∠BPC=∠A'PC=θ,则

6.
解:

上的动点P(u,v)与坐标原点O的线段的斜率KOP,
(2)当过B(4,0)时,x=-6,ymin=0.

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