【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点26基本不等式（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 基本不等式的理解与运用；应用基本不等式解决实际问题时条件的把握. 二.知识梳理 1.常用的基本不等式和重要的不等式 （1）
当且仅当
（2）
（3）
，则
（4）
2.最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3.均值不等式: 两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
4.四种均值的关系：两个正数
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
5.双向不等式是：
左边在
时取得等号，右边在
时取得等号 三.考点逐个突破 1.利用基本不等式比较大小 例1若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则 A．P＝Q B．P≥Q C．P≤Q D．P>Q [答案]　C [解析]　Q＝·＝≥＝＋＝P. [点评]　可用特值法求解，令所有字母全为1，则P＝2，Q＝2，∴P＝Q，排除D；令a＝b＝c＝d＝1，x＝1，y＝4，则P＝4，Q＝5，∴P0,y>0,x+y=1, 求证:(1+
)(1+
)≥9 分析: x+y常数,xy可有最大值 证法一: 左边＝(1+
)(1+
)=1+
+
+
=1+
+
=1+
≥1+
=9＝右边 (当且仅当x=y=
时取“=”号) 证法二： 令x=
y=
, 0<
<
左边＝(1+
)(1+
)=(1+
)(1+
) =1+
+
+
·
=1+
=1+
≥1+8=9＝右边 0<2
<

=
时，x=y=
时取等号 证法三：∵x+y=1 ∴左边＝(1+
)(1+
)=(1+
)(1+
)=(2+
)(2+
) =5+2(
+
)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=
时取“=”号) 4.基本不等式的实际应用 例4. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和． (1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析]　(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为×150%＋×50%，∴年销售收入为(×150%＋×50%)·Q＝(32Q＋3)＋x， ∴年利润W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)． (2)令x＋1＝t(t≥1)，则 W＝＝50－. ∵t≥1，∴＋≥2＝8，即W≤42， 当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．

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