【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点27简单的线性规划（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
二元一次不等式表示的平面区域；目标函数的确定及线性规划的实际应用
二.知识梳理
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
(1)满足Ax＋By＋C=0的点；
(2)满足Ax＋By＋C>0的点；
(3)满足Ax＋By＋C<0的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．
3．线性规则中的基本概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解（x，y）
名称
意义
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大或最小的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的 最大或最小问题
三.考点逐个突破
1.二元一次不等式（组）所表示的平面区域
例1.（1）在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(0,2)
[答案] C
[解析] ∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方?3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.
[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0?点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0?点P在直线下方．
(2)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在
A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方
C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方
[答案] D
[解析] ∵2x＋4y≥2，由条件2x＋4y<4知，
2<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.
（3）在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为
A．95 B．91 C．88 D． 75
[答案] B
[解析] 由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；
y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
2.简单线性规划
例2.（1）已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有
A．a>1 B．a>－1 C．a<1 D．a<－1
[答案] D
[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，
故a<－1，故选D.
（2）已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为
A．0 D．0－3，∴a>.
（3）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为
A．－1 B．0 C．3 D．4
[答案] C
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，zmax＝3.
3.简单线性规划的实际应用
例3（1）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
[答案] 15
[解析] 设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
（2）某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
[解析] 设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：
即
作出可行域如图，解方程组
得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10万元＝70万元．
答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.
（3）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是
A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元
[答案] D
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为xt，yt，
由题意得
获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，
由解得A(3,4)．
∵－3<－<－，
∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.
(4)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝
A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得
利润z＝450x＋350y，可行域如图所示．
解得A(7,5)．
当直线350y＋450x＝z过A (7,5)时z取最大值，
∴zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.
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