【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点28推理与证明（解析版）
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一.考纲目标
掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析.
二.知识梳理
1．合情推理包括归纳推理和类比推理．
2．归纳推理
(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．
(2)特点：归纳是从特殊到一般的过程．
(3)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
3．类比推理
(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
4．演绎推理
(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理．
(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．
(3)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
5．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论 成立 ，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：→→→…→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．
(2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：→→→…→.
6．间接证明
反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
三．考点逐个突破
1.归纳推理
[例1] 已知f (x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x1，x2， x3，x4；
(3)猜想{xn}的通项．
[解] (1)把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，
代入函数表达式得，整理得，解得，
于是f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝×(1－)＝，x3＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，，，，…，便可猜想xn＝(n∈N*)．
2.类比推理
[例2] 已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 如下图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××?r＝，
故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
3.演绎推理
[例3] 已知函数f(x)＝－(a>0且a≠1)．
(1)证明函数y＝f(x)的图像关于点(，－)对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
[解] (1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．
由已知得y＝－，则－1－y＝－1＋＝－，
f(1－x)＝－＝－
＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)，
即函数y＝f(x)的图像关于点(，－)对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，
4.综合法
[例4] 已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.
[证明] ∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，
∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz，
∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.
∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.
∴x2＋y2＋z2≥.
5.分析法
[例5] 已知m>0，a，b∈R，求证：()2≤.
[思路点拨] 先去分母，再合并同类项，化成积式．
[证明] ∵m>0，∴1＋m>0.
所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，
故原不等式得证．
6.反证法：
[例6] 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①≤an＋1；②an≤M.其中n∈N*，M是与n无关的常数．
(1)设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且{bn}∈W，求M的取值范围；
(2)设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W，证明：cn≤cn＋1.
[解] (1)∵bn＋1－bn＝5(n＋1)－2n＋1－5n＋2n＝5－2n，
∴当n≥3时，bn＋1－bn<0，此时数列{bn}单调递减；
当n＝1,2时，bn＋1－bn>0，即b1ck＋1.
由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck≥ck＋1＋1，
即ck＋1≤ck－1.
∵{cn}∈W，∴≤ck＋1，
∴ck＋2≤2ck＋1－ck及ck>ck＋1，得
ck＋2<2ck＋1－ck＋1＝ck＋1，故ck＋2≤ck＋1－1.
∵≤ck＋2，
∴ck＋3≤2ck＋2－ck＋1≤2(ck＋1－1)－ck＋1＝ck＋1－2≤ck－3.
以此类推，可得ck＋m≤ck－m(m∈N*)．
设ck＝p(p∈N*)，则当m＝p时，有ck＋p≤ck－p＝0，
这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾．
所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有cn≤cn＋1成立．
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